MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonic 15202
Description: The harmonic series 𝐻 diverges. This fact follows from the stronger emcl 25507, which establishes that the harmonic series grows as log𝑛 + γ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
harmonic.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
harmonic.2 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
harmonic ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝

Proof of Theorem harmonic
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12268 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11981 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → 0 ∈ ℤ)
3 1ex 10625 . . . . . 6 1 ∈ V
43fvconst2 6958 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
54adantl 482 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
6 1red 10630 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7 harmonic.2 . . . . . . 7 𝐻 = seq1( + , 𝐹)
87eleq1i 2900 . . . . . 6 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
98biimpi 217 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
10 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
11 harmonic.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
12 ovex 7178 . . . . . . . . 9 (1 / 𝑘) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6761 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (1 / 𝑘))
14 nnrecre 11667 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1513, 14eqeltrd 2910 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
17 nnrp 12388 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
1817rpreccld 12429 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
1918rpge0d 12423 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / 𝑘))
2019, 13breqtrrd 5085 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
22 nnre 11633 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
2322lep1d 11559 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
24 nngt0 11656 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
25 peano2re 10801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
2622, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
27 peano2nn 11638 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2827nngt0d 11674 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < (𝑘 + 1))
29 lerec 11511 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3022, 24, 26, 28, 29syl22anc 834 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
3123, 30mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
32 oveq2 7153 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / (𝑘 + 1)))
33 ovex 7178 . . . . . . . . . 10 (1 / (𝑘 + 1)) ∈ V
3432, 11, 33fvmpt 6761 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3527, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (1 / (𝑘 + 1)))
3631, 35, 133brtr4d 5089 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
3736adantl 482 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
38 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (2↑𝑘) = (2↑𝑗))
3938fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (𝐹‘(2↑𝑗)))
4038, 39oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
41 fconstmpt 5607 . . . . . . . . 9 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
42 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
43 nnexpcl 13430 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
4442, 43mpan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
45 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (2↑𝑘) → (1 / 𝑛) = (1 / (2↑𝑘)))
46 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / (2↑𝑘)) ∈ V
4745, 11, 46fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4844, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘(2↑𝑘)) = (1 / (2↑𝑘)))
4948oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))))
50 nncn 11634 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
51 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → (2↑𝑘) ≠ 0)
5250, 51recidd 11399 . . . . . . . . . . . 12 ((2↑𝑘) ∈ ℕ → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5344, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (1 / (2↑𝑘))) = 1)
5449, 53eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))) = 1)
5554mpteq2ia 5148 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 1)
5641, 55eqtr4i 2844 . . . . . . . 8 (ℕ0 × {1}) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑘) · (𝐹‘(2↑𝑘))))
57 ovex 7178 . . . . . . . 8 ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))) ∈ V
5840, 56, 57fvmpt 6761 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
5958adantl 482 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑗) = ((2↑𝑗) · (𝐹‘(2↑𝑗))))
6016, 21, 37, 59climcnds 15194 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ ))
619, 60mpbid 233 . . . 4 (𝐻 ∈ dom ⇝ → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
621, 2, 5, 6, 61isumrecl 15108 . . 3 (𝐻 ∈ dom ⇝ → Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ)
63 arch 11882 . . 3 𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
6462, 63syl 17 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
65 fzfid 13329 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ∈ Fin)
66 ax-1cn 10583 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
67 fsumconst 15133 . . . . . . 7 (((1...𝑗) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
6865, 66, 67sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = ((♯‘(1...𝑗)) · 1))
69 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
7069adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
71 hashfz1 13694 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7270, 71syl 17 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (♯‘(1...𝑗)) = 𝑗)
7372oveq1d 7160 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((♯‘(1...𝑗)) · 1) = (𝑗 · 1))
74 nncn 11634 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
7574adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℂ)
7675mulid1d 10646 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 · 1) = 𝑗)
7768, 73, 763eqtrd 2857 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 = 𝑗)
78 0zd 11981 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
79 elfznn 12924 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
80 nnnn0 11892 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8281ssriv 3968 . . . . . . 7 (1...𝑗) ⊆ ℕ0
8382a1i 11 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1...𝑗) ⊆ ℕ0)
844adantl 482 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {1})‘𝑘) = 1)
85 1red 10630 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
86 0le1 11151 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8786a1i 11 . . . . . 6 (((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 1)
8861adantr 481 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → seq0( + , (ℕ0 × {1})) ∈ dom ⇝ )
891, 78, 65, 83, 84, 85, 87, 88isumless 15188 . . . . 5 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)1 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
9077, 89eqbrtrrd 5081 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1)
91 nnre 11633 . . . . 5 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
92 lenlt 10707 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ∈ ℝ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9391, 62, 92syl2anr 596 . . . 4 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 ↔ ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗))
9490, 93mpbid 233 . . 3 ((𝐻 ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9594nrexdv 3267 . 2 (𝐻 ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑗 ∈ ℕ Σ𝑘 ∈ ℕ0 1 < 𝑗)
9664, 95pm2.65i 195 1 ¬ 𝐻 ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  wss 3933  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  ...cfz 12880  seqcseq 13357  cexp 13417  chash 13678  cli 14829  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator