MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicubnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicubnd 24453
Description: A bound on the harmonic series, as compared to the natural logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicubnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmonicubnd
StepHypRef Expression
1 fzfid 12589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2 elfznn 12196 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
32adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
43nnrecred 10913 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
51, 4fsumrecl 14258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6 flge1nn 12439 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ)
76nnrpd 11702 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ+)
87relogcld 24090 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
9 peano2re 10060 . . 3 ((log‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ∈ ℝ)
11 simpl 471 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 0red 9897 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
13 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
15 0lt1 10399 . . . . . . 7 0 < 1
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 1)
17 simpr 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
1812, 14, 11, 16, 17ltletrd 10048 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
1911, 18elrpd 11701 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2019relogcld 24090 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
21 peano2re 10060 . . 3 ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
23 harmonicbnd 24447 . . . . 5 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
246, 23syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1))
25 emre 24449 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
2625, 13elicc2i 12066 . . . . 5 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1))
2726simp3bi 1070 . . . 4 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ∈ (γ[,]1) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
2824, 27syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1)
295, 8, 14lesubadd2d 10475 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘(⌊‘𝐴))) ≤ 1 ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1)))
3028, 29mpbid 220 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1))
31 flle 12417 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
3231adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
337, 19logled 24094 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ↔ (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴)))
3432, 33mpbid 220 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(⌊‘𝐴)) ≤ (log‘𝐴))
358, 20, 14, 34leadd1dd 10490 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(⌊‘𝐴)) + 1) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
365, 10, 22, 30, 35letrd 10045 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝐴) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  [,]cicc 12005  ...cfz 12152  cfl 12408  Σcsu 14210  logclog 24022  γcem 24435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-em 24436
This theorem is referenced by:  fsumharmonic  24455  logfaclbnd  24664  vmalogdivsum2  24944  logdivbnd  24962  pntrsumo1  24971  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem5  24987  pntrlog2bndlem6  24989
  Copyright terms: Public domain W3C validator