MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hartogslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hartogslem2 8408
Description: Lemma for hartogs 8409. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hartogslem.2 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
hartogslem.3 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
Assertion
Ref Expression
hartogslem2 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑠,𝑡,𝑤,𝑦,𝑧   𝑓,𝑟,𝑥,𝐴,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑤,𝑡,𝑠)   𝑅(𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠,𝑟)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑤,𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem hartogslem2
StepHypRef Expression
1 hartogslem.2 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑟, 𝑦⟩ ∣ (((dom 𝑟𝐴 ∧ ( I ↾ dom 𝑟) ⊆ 𝑟𝑟 ⊆ (dom 𝑟 × dom 𝑟)) ∧ (𝑟 ∖ I ) We dom 𝑟) ∧ 𝑦 = dom OrdIso((𝑟 ∖ I ), dom 𝑟))}
2 hartogslem.3 . . . 4 𝑅 = {⟨𝑠, 𝑡⟩ ∣ ∃𝑤𝑦𝑧𝑦 ((𝑠 = (𝑓𝑤) ∧ 𝑡 = (𝑓𝑧)) ∧ 𝑤 E 𝑧)}
31, 2hartogslem1 8407 . . 3 (dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ Fun 𝐹 ∧ (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴}))
43simp3i 1070 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴})
53simp2i 1069 . . . 4 Fun 𝐹
63simp1i 1068 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴)
7 sqxpexg 6928 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
8 pwexg 4820 . . . . . 6 ((𝐴 × 𝐴) ∈ V → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V)
10 ssexg 4774 . . . . 5 ((dom 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐴) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
116, 9, 10sylancr 694 . . . 4 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ V)
12 funex 6447 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
135, 11, 12sylancr 694 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
14 rnexg 7060 . . 3 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
1513, 14syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → ran 𝐹 ∈ V)
164, 15eqeltrrd 2699 1 (𝐴𝑉 → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑥𝐴} ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  cdif 3557  wss 3560  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  {copab 4682   E cep 4993   I cid 4994   We wwe 5042   × cxp 5082  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  Oncon0 5692  Fun wfun 5851  cfv 5857  cdom 7913  OrdIsocoi 8374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-en 7916  df-dom 7917  df-oi 8375
This theorem is referenced by:  hartogs  8409
  Copyright terms: Public domain W3C validator