MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1snb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1snb 13022
Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash1snb (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝑉) = 1)
2 hash1 13007 . . . . . . . . 9 (#‘1𝑜) = 1
31, 2syl6eqr 2661 . . . . . . . 8 ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝑉) = (#‘1𝑜))
43adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝑉) = (#‘1𝑜))
5 1onn 7583 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ ω
6 nnfi 8015 . . . . . . . . 9 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . 8 ((#‘𝑉) = 1 → 1𝑜 ∈ Fin)
8 hashen 12951 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = (#‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
97, 8sylan2 489 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ((#‘𝑉) = (#‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
104, 9mpbid 220 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1𝑜)
11 en1 7886 . . . . . 6 (𝑉 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1210, 11sylib 206 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
1312ex 448 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
1413a1d 25 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15 hashinf 12941 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (#‘𝑉) = +∞)
16 eqeq1 2613 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = +∞ → ((#‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 renepnf 9943 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ≠ +∞
20 df-ne 2781 . . . . . . . . 9 (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
21 pm2.21 118 . . . . . . . . 9 (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2220, 21sylbi 205 . . . . . . . 8 (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2319, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2423eqcoms 2617 . . . . . 6 (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
2516, 24syl6bi 241 . . . . 5 ((#‘𝑉) = +∞ → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2615, 25syl 17 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
2726expcom 449 . . 3 𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
2814, 27pm2.61i 174 . 2 (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
29 fveq2 6087 . . . 4 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑎}))
30 vex 3175 . . . . 5 𝑎 ∈ V
31 hashsng 12974 . . . . 5 (𝑎 ∈ V → (#‘{𝑎}) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . 4 (#‘{𝑎}) = 1
3329, 32syl6eq 2659 . . 3 (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = 1)
3433exlimiv 1844 . 2 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = 1)
3528, 34impbid1 213 1 (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5789  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  cen 7815  Fincfn 7818  cr 9791  1c1 9793  +∞cpnf 9927  #chash 12936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-hash 12937
This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13070  hash1to3  13080  cshwrepswhash1  15595  mat1scmat  20111  tgldim0eq  25142  usgrafisindb1  25731  rusgrasn  26265  vdfrgra0  26342  vdn1frgrav2  26345  vdgn1frgrav2  26346  frgrawopreg1  26370  frgrawopreg2  26371  hash1n0  40177  upgredg  40351  lfuhgr1v0e  40461  usgr1v0e  40526  nbgr1vtx  40561  uvtxa01vtx0  40604  cplgr1vlem  40632  cplgr1v  40633  1loopgrvd2  40699  vdgn1frgrv2  41447  frgrwopreg1  41468  frgrwopreg2  41469  c0snmgmhm  41685
  Copyright terms: Public domain W3C validator