MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash1to3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash1to3 13081
Description: If the size of a set is between 1 and 3 (inclusively), the set is a singleton or an unordered pair or an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash1to3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem hash1to3
StepHypRef Expression
1 hashcl 12964 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
2 nn01to3 11616 . . 3 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3))
31, 2syl3an1 1350 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3))
4 hash1snb 13023 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
54biimpa 499 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
6 3mix1 1222 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑎} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
762eximi 1752 . . . . . . . . . 10 (∃𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
8719.23bi 2048 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
9819.23bi 2048 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎} → ∃𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
109eximi 1751 . . . . . . 7 (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
115, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1211expcom 449 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 1 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
13 hash2pr 13063 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
14 3mix2 1223 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1514eximi 1751 . . . . . . . . 9 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
161519.23bi 2048 . . . . . . . 8 (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
17162eximi 1752 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1813, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
1918expcom 449 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 2 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
20 hash3tr 13080 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
21 3mix3 1224 . . . . . . . . 9 (𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → (𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2221eximi 1751 . . . . . . . 8 (∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
23222eximi 1752 . . . . . . 7 (∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2420, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
2524expcom 449 . . . . 5 ((#‘𝑉) = 3 → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
2612, 19, 253jaoi 1382 . . . 4 (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → (𝑉 ∈ Fin → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
2726com12 32 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
28273ad2ant1 1074 . 2 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 2 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})))
293, 28mpd 15 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ≤ (#‘𝑉) ∧ (#‘𝑉) ≤ 3) → ∃𝑎𝑏𝑐(𝑉 = {𝑎} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏} ∨ 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  {csn 4124  {cpr 4126  {ctp 4128   class class class wbr 4577  cfv 5790  Fincfn 7819  1c1 9794  cle 9932  2c2 10920  3c3 10921  0cn0 11142  #chash 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-3o 7427  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-hash 12938
This theorem is referenced by:  friendship  26443  av-friendship  41575
  Copyright terms: Public domain W3C validator