Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pr 13463
 Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2pr ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 11521 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 13363 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 709 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 444 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash2 13405 . . . . . . . 8 (♯‘2𝑜) = 2
65eqcomi 2769 . . . . . . 7 2 = (♯‘2𝑜)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 2 = (♯‘2𝑜))
87eqeq2d 2770 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘2𝑜)))
9 2onn 7891 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
10 nnfi 8320 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
12 hashen 13349 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
1311, 12mpan2 709 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
1413biimpd 219 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2𝑜) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
158, 14sylbid 230 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2𝑜))
1615adantld 484 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜)
18 en2 8363 . 2 (𝑉 ≈ 2𝑜 → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  {cpr 4323   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  ωcom 7231  2𝑜c2o 7724   ≈ cen 8120  Fincfn 8123  2c2 11282  ℕ0cn0 11504  ♯chash 13331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332 This theorem is referenced by:  hash2prde  13464  hashle2pr  13471  hash1to3  13485
 Copyright terms: Public domain W3C validator