Theorem hash2pr 13063

Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11159	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 12967	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 702	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 443	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash2 13009	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘2𝑜) = 2
6	5	eqcomi 2618	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (#‘2𝑜)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 2 = (#‘2𝑜))
8	7	eqeq2d 2619	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 ↔ (#‘𝑉) = (#‘2𝑜)))
9		2onn 7585	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
10		nnfi 8016	. . . . . . . 8 ⊢ (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
12		hashen 12952	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
13	11, 12	mpan2 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 2𝑜))
14	13	biimpd 217	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = (#‘2𝑜) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
15	8, 14	sylbid 228	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2𝑜))
16	15	adantld 481	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜))
17	4, 16	mpcom 37	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2𝑜)
18		en2 8059	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2𝑜 → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474  ∃wex 1694   ∈ wcel 1976  {cpr 4126   class class class wbr 4577  ‘cfv 5790  ωcom 6935  2_𝑜c2o 7419   ≈ cen 7816  Fincfn 7819  2c2 10920  ℕ₀cn0 11142  #chash 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-hash 12938

This theorem is referenced by:  hash2prde  13064  hash1to3  13081  usgraedg4  25710