MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prde 13061
Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prde ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde
StepHypRef Expression
1 hash2pr 13060 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2 equid 1925 . . . . . . 7 𝑏 = 𝑏
3 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
4 vex 3175 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
53, 4, 4preqsn 4326 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏))
6 eqeq2 2620 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑏}))
8 hashsng 12972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ V → (#‘{𝑏}) = 1)
94, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘{𝑏}) = 1
107, 9syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑏} → (#‘𝑉) = 1)
11 eqeq1 2613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12 1ne2 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
13 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1513, 14sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 2 → 𝑎𝑏)
1716eqcoms 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 = 1 → 𝑎𝑏)
1811, 17syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 2 → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ((#‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
2010, 19syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏))
216, 20syl6bi 241 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏)))
2221com13 85 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏)))
2322imp 443 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → 𝑎𝑏))
2423com12 32 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
255, 24sylbir 223 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏) → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
262, 25mpan2 702 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
27 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑎𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
2826, 27pm2.61ine 2864 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
29 simpr 475 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
3028, 29jca 552 . . . 4 (((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
3130ex 448 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
32312eximdv 1834 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
331, 32mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (#‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  Vcvv 3172  {csn 4124  {cpr 4126  cfv 5790  1c1 9793  2c2 10917  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  hash2exprb  13062  usgrarnedg  25679  cusgrarn  25754  frgraregord013  26411  umgredg  40366  av-frgraregord013  41544
  Copyright terms: Public domain W3C validator