MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2prde Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2prde 13816
Description: A set of size two is an unordered pair of two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2prde ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem hash2prde
StepHypRef Expression
1 hash2pr 13815 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2 equid 2010 . . . . . . 7 𝑏 = 𝑏
3 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑎 ∈ V
4 vex 3495 . . . . . . . . 9 𝑏 ∈ V
53, 4preqsn 4784 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} ↔ (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏))
6 eqeq2 2830 . . . . . . . . . 10 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑉 = {𝑏}))
7 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑏}))
8 hashsng 13718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ V → (♯‘{𝑏}) = 1)
98elv 3497 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘{𝑏}) = 1
107, 9syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 = {𝑏} → (♯‘𝑉) = 1)
11 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 ↔ 2 = 1))
12 1ne2 11833 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
13 df-ne 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 ↔ ¬ 1 = 2)
14 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ 1 = 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1513, 14sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → (1 = 2 → 𝑎𝑏))
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 = 2 → 𝑎𝑏)
1716eqcoms 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 1 → 𝑎𝑏)
1811, 17syl6bi 254 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 2 → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ((♯‘𝑉) = 1 → 𝑎𝑏))
2010, 19syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = {𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏))
216, 20syl6bi 254 . . . . . . . . 9 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑎𝑏)))
2221impcomd 412 . . . . . . . 8 ({𝑎, 𝑏} = {𝑏} → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
235, 22sylbir 236 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑏) → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
242, 23mpan2 687 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
25 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑎𝑏 → (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏))
2624, 25pm2.61ine 3097 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑎𝑏)
27 simpr 485 . . . . 5 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
2826, 27jca 512 . . . 4 (((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) ∧ 𝑉 = {𝑎, 𝑏}) → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
2928ex 413 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (𝑉 = {𝑎, 𝑏} → (𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
30292eximdv 1911 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → (∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏} → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏})))
311, 30mpd 15 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏(𝑎𝑏𝑉 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  {csn 4557  {cpr 4559  cfv 6348  1c1 10526  2c2 11680  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  hash2exprb  13817  umgredg  26850  frgrregord013  28101
  Copyright terms: Public domain W3C validator