MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pwpr 13196
Description: If the size of a subset of an unordered pair is 2, the subset is the pair itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash2pwpr (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})

Proof of Theorem hash2pwpr
StepHypRef Expression
1 pwpr 4398 . . . . 5 𝒫 {𝑋, 𝑌} = ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}})
21eleq2i 2690 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ 𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
3 elun 3731 . . . 4 (𝑃 ∈ ({∅, {𝑋}} ∪ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
42, 3bitri 264 . . 3 (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} ↔ (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}))
5 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = (#‘∅))
6 hash0 13098 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
76eqeq2i 2633 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = (#‘∅) ↔ (#‘𝑃) = 0)
8 eqeq1 2625 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
9 0ne2 11183 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 2
10 eqneqall 2801 . . . . . . . . . 10 (0 = 2 → (0 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
119, 10mpi 20 . . . . . . . . 9 (0 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
128, 11syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 0 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
137, 12sylbi 207 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = (#‘∅) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
15 hashsng 13099 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (#‘{𝑋}) = 1)
16 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 ({𝑋} = 𝑃 → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
1716eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑋} → (#‘{𝑋}) = (#‘𝑃))
1817eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
19 eqeq1 2625 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 1 = 2))
20 1ne2 11184 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
21 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . 11 (1 = 2 → (1 ≠ 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2220, 21mpi 20 . . . . . . . . . 10 (1 = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
2319, 22syl6bi 243 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
2418, 23syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘{𝑋}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
2515, 24syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
26 snprc 4223 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V ↔ {𝑋} = ∅)
27 eqeq2 2632 . . . . . . . . 9 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} ↔ 𝑃 = ∅))
285, 6syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = ∅ → (#‘𝑃) = 0)
2928eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ 0 = 2))
3029, 11syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3127, 30syl6bi 243 . . . . . . . 8 ({𝑋} = ∅ → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3226, 31sylbi 207 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
3325, 32pm2.61i 176 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
3414, 33jaoi 394 . . . . 5 ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
35 hashsng 13099 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (#‘{𝑌}) = 1)
36 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 ({𝑌} = 𝑃 → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
3736eqcoms 2629 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = {𝑌} → (#‘{𝑌}) = (#‘𝑃))
3837eqeq1d 2623 . . . . . . . . 9 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 ↔ (#‘𝑃) = 1))
3938, 23syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘{𝑌}) = 1 → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4035, 39syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
41 snprc 4223 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V ↔ {𝑌} = ∅)
42 eqeq2 2632 . . . . . . . . 9 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} ↔ 𝑃 = ∅))
435eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 ↔ (#‘∅) = 2))
446eqeq1i 2626 . . . . . . . . . . 11 ((#‘∅) = 2 ↔ 0 = 2)
4544, 11sylbi 207 . . . . . . . . . 10 ((#‘∅) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
4643, 45syl6bi 243 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
4742, 46syl6bi 243 . . . . . . . 8 ({𝑌} = ∅ → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4841, 47sylbi 207 . . . . . . 7 𝑌 ∈ V → (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
4940, 48pm2.61i 176 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
50 ax-1 6 . . . . . 6 (𝑃 = {𝑋, 𝑌} → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5149, 50jaoi 394 . . . . 5 ((𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5234, 51jaoi 394 . . . 4 (((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})) → ((#‘𝑃) = 2 → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
53 elpri 4168 . . . . 5 (𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} → (𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}))
54 elpri 4168 . . . . 5 (𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}} → (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5553, 54orim12i 538 . . . 4 ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → ((𝑃 = ∅ ∨ 𝑃 = {𝑋}) ∨ (𝑃 = {𝑌} ∨ 𝑃 = {𝑋, 𝑌})))
5652, 55syl11 33 . . 3 ((#‘𝑃) = 2 → ((𝑃 ∈ {∅, {𝑋}} ∨ 𝑃 ∈ {{𝑌}, {𝑋, 𝑌}}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
574, 56syl5bi 232 . 2 ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌} → 𝑃 = {𝑋, 𝑌}))
5857imp 445 1 (((#‘𝑃) = 2 ∧ 𝑃 ∈ 𝒫 {𝑋, 𝑌}) → 𝑃 = {𝑋, 𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cun 3553  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  0cc0 9880  1c1 9881  2c2 11014  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  pr2pwpr  13199
  Copyright terms: Public domain W3C validator