MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashbc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashbc0 15633
Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ramval.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
Assertion
Ref Expression
hashbc0 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashbc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 11251 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 ramval.c . . . 4 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (#‘𝑏) = 𝑖})
32hashbcval 15630 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0})
41, 3mpan2 706 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0})
5 vex 3189 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
6 hasheq0 13094 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
87anbi2i 729 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 = ∅))
9 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
10 0elpw 4794 . . . . . . 7 ∅ ∈ 𝒫 𝐴
119, 10syl6eqel 2706 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
1211pm4.71ri 664 . . . . 5 (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 = ∅))
138, 12bitr4i 267 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
1413abbii 2736 . . 3 {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 0)} = {𝑥𝑥 = ∅}
15 df-rab 2916 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (#‘𝑥) = 0)}
16 df-sn 4149 . . 3 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
1714, 15, 163eqtr4i 2653 . 2 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {∅}
184, 17syl6eq 2671 1 (𝐴𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  {crab 2911  Vcvv 3186  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  0cc0 9880  0cn0 11236  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  0ram  15648
  Copyright terms: Public domain W3C validator