Theorem hashbc0 16343

Description: The set of subsets of size zero is the singleton of the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ramval.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})

Assertion

Ref	Expression
hashbc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑖   𝐴,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashbc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11915	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		ramval.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
3	2	hashbcval 16340	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
4	1, 3	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0})
5		hasheq0 13727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ V → ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
6	5	elv 3501	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
7	6	anbi2i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
8		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
9		0elpw 5258	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝐴
10	8, 9	eqeltrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	pm4.71ri 563	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 = ∅))
12	7, 11	bitr4i 280	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0) ↔ 𝑥 = ∅)
13	12	abbii 2888	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
14		df-rab 3149	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (♯‘𝑥) = 0)}
15		df-sn 4570	. . 3 ⊢ {∅} = {𝑥 ∣ 𝑥 = ∅}
16	13, 14, 15	3eqtr4i 2856	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (♯‘𝑥) = 0} = {∅}
17	4, 16	syl6eq 2874	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴𝐶0) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2801  {crab 3144  Vcvv 3496  ∅c0 4293  𝒫 cpw 4541  {csn 4569  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  0cc0 10539  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  0ram  16358