MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashcard Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashcard 13706
Description: The size function of the cardinality function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashcard (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Proof of Theorem hashcard
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cardidm 9377 . . 3 (card‘(card‘𝐴)) = (card‘𝐴)
21fveq2i 6667 . 2 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴))
3 ficardom 9379 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4 ssid 3988 . . . 4 (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)
5 ssnnfi 8726 . . . 4 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ (card‘𝐴) ⊆ (card‘𝐴)) → (card‘𝐴) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ Fin)
7 eqid 2821 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
87hashgval 13683 . . 3 ((card‘𝐴) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
96, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(card‘𝐴))) = (♯‘(card‘𝐴)))
107hashgval 13683 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
112, 9, 103eqtr3a 2880 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3495  wss 3935  cmpt 5138  cres 5551  cfv 6349  (class class class)co 7145  ωcom 7568  reccrdg 8036  Fincfn 8498  cardccrd 9353  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  chash 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-hash 13681
This theorem is referenced by:  ishashinf  13811  ackbijnn  15173
  Copyright terms: Public domain W3C validator