Theorem hashcl 13711

Description: Closure of the ♯ function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 13687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
3		ficardom 9384	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 13333	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6609	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelrni 6844	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2914	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5138   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ωcom 7574  reccrdg 8039  Fincfn 8503  cardccrd 9358  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℕ₀cn0 11891  ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-hash 13685

This theorem is referenced by:  hashclb  13713  isfinite4  13717  hashnncl  13721  hashdom  13734  hashsdom  13736  hashun2  13738  hashun3  13739  hashunx  13741  1elfz0hash  13745  hashssdif  13767  hashdifpr  13770  hashunlei  13780  hashsslei  13781  hashxplem  13788  hashmap  13790  hashfun  13792  hashreshashfun  13794  fnfz0hashnn0  13800  fnfzo0hashnn0  13803  hashbclem  13804  hashf1lem2  13808  hashf1  13809  hashfac  13810  fz1isolem  13813  seqcoll2  13817  hashge2el2dif  13832  hashtpg  13837  hash1to3  13843  fi1uzind  13849  brfi1indALT  13852  lencl  13877  wrdnfi  13893  wrdnfiOLD  13894  ccatval2  13926  ofccat  14323  isercoll  15018  fz1f1o  15061  o1fsum  15162  hashiun  15171  hash2iun1dif1  15173  ackbijnn  15177  incexclem  15185  incexc  15186  incexc2  15187  climcndslem1  15198  climcndslem2  15199  sumodd  15733  phicl2  16099  phiprmpw  16107  sumhash  16226  prmreclem3  16248  prmreclem4  16249  prmreclem5  16250  4sqlem11  16285  vdwlem11  16321  vdwlem12  16322  vdwlem13  16323  ramlb  16349  0ram  16350  ramub1lem1  16356  ramub1lem2  16357  hashfinmndnn  17922  lagsubg2  18335  lagsubg  18336  psgnunilem4  18619  odhash3  18695  gexdvds3  18709  sylow1lem1  18717  sylow1lem5  18721  pgpfi  18724  pgpssslw  18733  sylow2alem2  18737  sylow2a  18738  sylow2blem3  18741  sylow3lem3  18748  sylow3lem4  18749  sylow3lem6  18751  cyggex2  19011  ablfacrplem  19181  ablfacrp2  19183  ablfac1c  19187  ablfac1eulem  19188  ablfac1eu  19189  pgpfac1lem2  19191  pgpfaclem2  19198  ablfaclem3  19203  fincygsubgodd  19228  prmgrpsimpgd  19230  0ringnnzr  20036  cygznlem1  20707  cygznlem2a  20708  cygznlem3  20710  cygth  20712  mdet1  21204  chpscmatgsumbin  21446  chpscmatgsummon  21447  tsmsxp  22757  fta1glem2  24754  fta1blem  24756  fta1lem  24890  vieta1lem2  24894  birthday  25526  ppif  25701  isnsqf  25706  muf  25711  0sgm  25715  mule1  25719  ppidif  25734  mumul  25752  musum  25762  ppiub  25774  chpub  25790  dchrabs  25830  sumdchr2  25840  dchrhash  25841  lgsquadlem1  25950  lgsquadlem2  25951  lgsquadlem3  25952  rpvmasum2  26082  dchrisum0re  26083  pntlemr  26172  pntlemj  26173  fusgredgfi  27101  hashnbusgrnn0  27152  nbusgrvtxm1  27155  vtxdgfival  27245  vtxdgfisnn0  27251  vtxdginducedm1fi  27320  finsumvtxdg2ssteplem4  27324  finsumvtxdgeven  27328  upgrwlkdvdelem  27511  clwwlkndivn  27853  konigsberglem5  28029  frrusgrord0lem  28112  numclwwlk1  28134  numclwwlk3  28158  numclwwlk5  28161  numclwwlk6  28163  frgrregord013  28168  frgrogt3nreg  28170  friendshipgt3  28171  friendship  28172  hashxpe  30523  cycpmconjslem2  30792  cyc3conja  30794  esumcst  31317  hasheuni  31339  coinfliplem  31731  coinflippv  31736  ballotlemfelz  31743  ballotlemfp1  31744  ballotlemgun  31777  ballotth  31790  reprlt  31885  hashreprin  31886  derangf  32410  derangen2  32416  subfacp1lem1  32421  erdszelem8  32440  erdsze2lem1  32445  snmlff  32571  poimirlem26  34912  poimirlem27  34913  poimirlem28  34914  rrnequiv  35107  rrntotbnd  35108  frlmvscadiccat  39138  eldioph2lem1  39350  isnumbasgrplem3  39698  rp-isfinite5  39876  fzisoeu  41560  stoweidlem26  42305  fourierdlem36  42422  fourierdlem52  42437  fourierdlem102  42487  fourierdlem114  42499  rrndistlt  42569  hoicvrrex  42832  pgrple2abl  44407  pgrpgt2nabl  44408