MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashdifpr 13140
Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (#‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((#‘𝐴) − 2))

Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 4308 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶}))
32fveq2d 6154 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (#‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = (#‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})))
4 diffi 8137 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
5 necom 2849 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
65biimpi 206 . . . . . . 7 (𝐵𝐶𝐶𝐵)
76anim2i 592 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
873adant1 1077 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
98adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (𝐶𝐴𝐶𝐵))
10 eldifsn 4292 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝐶𝐴𝐶𝐵))
119, 10sylibr 224 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
12 hashdifsn 13139 . . 3 (((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → (#‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
134, 11, 12syl2an2r 875 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (#‘((𝐴 ∖ {𝐵}) ∖ {𝐶})) = ((#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1))
14 hashdifsn 13139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((#‘𝐴) − 1))
15143ad2antr1 1224 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) = ((#‘𝐴) − 1))
1615oveq1d 6620 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = (((#‘𝐴) − 1) − 1))
17 hashcl 13084 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0cnd 11298 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
19 sub1m1 11229 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℂ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) = ((#‘𝐴) − 2))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (((#‘𝐴) − 1) − 1) = ((#‘𝐴) − 2))
2120adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (((#‘𝐴) − 1) − 1) = ((#‘𝐴) − 2))
2216, 21eqtrd 2660 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → ((#‘(𝐴 ∖ {𝐵})) − 1) = ((#‘𝐴) − 2))
233, 13, 223eqtrd 2664 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴𝐵𝐶)) → (#‘(𝐴 ∖ {𝐵, 𝐶})) = ((#‘𝐴) − 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  {csn 4153  {cpr 4155  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cc 9879  1c1 9882  cmin 10211  2c2 11015  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  nbfusgrlevtxm2  26161
  Copyright terms: Public domain W3C validator