MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashen 13082
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6153 . . . 4 ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)))
2 eqid 2621 . . . . . 6 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
32hashginv 13068 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = (card‘𝐴))
42hashginv 13068 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)) = (card‘𝐵))
53, 4eqeqan12d 2637 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(#‘𝐵)) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
61, 5syl5ib 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) → (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
7 fveq2 6153 . . . 4 ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)))
82hashgval 13067 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
92hashgval 13067 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) = (#‘𝐵))
108, 9eqeqan12d 2637 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐵)) ↔ (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
117, 10syl5ib 234 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
126, 11impbid 202 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ (card‘𝐴) = (card‘𝐵)))
13 finnum 8725 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
14 finnum 8725 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → 𝐵 ∈ dom card)
15 carden2 8764 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
1613, 14, 15syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((card‘𝐴) = (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
1712, 16bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  dom cdm 5079  cres 5081  cfv 5852  (class class class)co 6610  ωcom 7019  reccrdg 7457  cen 7903  Fincfn 7906  cardccrd 8712  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890  #chash 13064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-hash 13065
This theorem is referenced by:  hasheni  13083  hasheqf1o  13084  isfinite4  13100  hasheq0  13101  hashsng  13106  hashen1  13107  hashsdom  13117  hash1snb  13154  hashxplem  13167  hashmap  13169  hashpw  13170  hashbclem  13181  hash2pr  13196  pr2pwpr  13206  hash3tr  13218  isercolllem2  14337  isercoll  14339  fz1f1o  14381  summolem3  14385  summolem2a  14386  mertenslem1  14548  prodmolem3  14595  prodmolem2a  14596  bpolylem  14711  hashdvds  15411  crth  15414  phimullem  15415  eulerth  15419  4sqlem11  15590  lagsubg2  17583  orbsta2  17675  dfod2  17909  sylow1lem2  17942  sylow2alem2  17961  sylow2a  17962  slwhash  17967  sylow2  17969  sylow3lem1  17970  cyggenod  18214  lt6abl  18224  gsumval3lem1  18234  gsumval3lem2  18235  gsumval3  18236  ablfac1c  18398  ablfac1eu  18400  ablfaclem3  18414  fta1blem  23845  vieta1  23984  basellem5  24724  isppw  24753  derangen2  30891  subfacp1lem3  30899  subfacp1lem5  30901  erdsze2lem1  30920  erdsze2lem2  30921  poimirlem9  33077  poimirlem25  33093  poimirlem26  33094  poimirlem27  33095  poimirlem28  33096  eldioph2lem1  36830  frlmpwfi  37175  isnumbasgrplem3  37183  idomsubgmo  37284
  Copyright terms: Public domain W3C validator