MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheni 12946
Description: Equinumerous sets have the same number of elements (even if they are not finite). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hasheni (𝐴𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))

Proof of Theorem hasheni
StepHypRef Expression
1 simpl 471 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴𝐵)
2 enfii 8035 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
32ancoms 467 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 hashen 12945 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
53, 4sylancom 697 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
61, 5mpbird 245 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
7 relen 7819 . . . . . 6 Rel ≈
87brrelexi 5068 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
98adantr 479 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ V)
10 enfi 8034 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
1110notbid 306 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
1211biimpar 500 . . . 4 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
13 hashinf 12935 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
149, 12, 13syl2anc 690 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
157brrelex2i 5069 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵 ∈ V)
16 hashinf 12935 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1715, 16sylan 486 . . 3 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
1814, 17eqtr4d 2642 . 2 ((𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
196, 18pm2.61dan 827 1 (𝐴𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168   class class class wbr 4573  cfv 5786  cen 7811  Fincfn 7814  +∞cpnf 9923  #chash 12930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-hash 12931
This theorem is referenced by:  hashen1  12969  hashfn  12973  hashfz  13022  hashf1lem2  13045  ishashinf  13052  hashgcdeq  15274  ramub2  15498  ram0  15506  odhash  17754  odhash2  17755  odngen  17757  lsmhash  17883  znhash  19667  znunithash  19673  cyggic  19681  birthdaylem2  24392  0sgmppw  24636  logfac2  24655  lgsquadlem1  24818  lgsquadlem2  24819  lgsquadlem3  24820  wlknwwlkneqs  26006  eulerpart  29573  ballotlemro  29713  ballotlemfrc  29717  ballotlem8  29727  rp-isfinite5  36681  wlknwwlksneqs  41089
  Copyright terms: Public domain W3C validator