Theorem hasheq0 13192

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10119	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2928	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 13162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2715	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 316	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) = 0)
7		0re 10078	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	syl6eqel 2738	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 8229	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	syl6eqel 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 150	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 13175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 707	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 12400	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6232	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = (#‘∅)
21		0nn0 11345	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 13174	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (#‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2675	. . . 4 ⊢ (#‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2663	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ (#‘𝐴) = 0)
26		en0 8060	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 302	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 172	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  ℕ₀cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  hashneq0  13193  hashnncl  13195  hash0  13196  hashgt0  13215  hashle00  13226  seqcoll2  13287  prprrab  13293  hashle2pr  13297  hashge2el2difr  13301  ccat0  13394  ccat1st1st  13448  wrdind  13522  wrd2ind  13523  swrdccat3a  13540  swrdccat3blem  13541  rev0  13559  repsw0  13570  cshwidx0  13598  fz1f1o  14485  hashbc0  15756  0hashbc  15758  ram0  15773  cshws0  15855  gsmsymgrfix  17894  sylow1lem1  18059  sylow1lem4  18062  sylow2blem3  18083  frgpnabllem1  18322  0ringnnzr  19317  01eq0ring  19320  vieta1lem2  24111  tgldimor  25442  uhgr0vsize0  26176  uhgr0edgfi  26177  usgr1v0e  26263  fusgrfisbase  26265  vtxd0nedgb  26440  vtxdusgr0edgnelALT  26448  usgrvd0nedg  26485  vtxdginducedm1lem4  26494  finsumvtxdg2size  26502  cyclnspth  26751  iswwlksnx  26788  umgrclwwlkge2  26957  clwwisshclwws  26972  hashecclwwlkn1  27041  umgrhashecclwwlk  27042  vdn0conngrumgrv2  27174  frgrwopreg  27303  frrusgrord0lem  27319  frgrregord013  27382  frgrregord13  27383  frgrogt3nreg  27384  friendshipgt3  27385  hasheuni  30275  signstfvn  30774  signstfveq0a  30781  signshnz  30796  elmrsubrn  31543  lindsrng01  42582