Theorem hasheq0 12970

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 9938	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 2885	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 12942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 316	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) = 0)
7		0re 9897	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	syl6eqel 2696	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) = 0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (#‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 8051	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	syl6eqel 2696	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 149	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 449	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 12952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 12191	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6091	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = (#‘∅)
21		0nn0 11157	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 12951	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (#‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (#‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2634	. . . 4 ⊢ (#‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2622	. . 3 ⊢ ((#‘𝐴) = (#‘∅) ↔ (#‘𝐴) = 0)
26		en0 7883	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 171	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   class class class wbr 4578  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527   ≈ cen 7816  Fincfn 7819  ℝcr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  +∞cpnf 9928  ℕ₀cn0 11142  ...cfz 12155  #chash 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-hash 12938

This theorem is referenced by:  hashneq0  12971  hashnncl  12973  hash0  12974  hashgt0  12993  hashle00  13004  seqcoll2  13061  hashge2el2difr  13071  wrdind  13277  wrd2ind  13278  swrdccat3a  13294  swrdccat3blem  13295  rev0  13313  repsw0  13324  cshwidx0  13352  fz1f1o  14237  hashbc0  15496  0hashbc  15498  ram0  15513  cshws0  15595  gsmsymgrfix  17620  sylow1lem1  17785  sylow1lem4  17788  sylow2blem3  17809  frgpnabllem1  18048  0ringnnzr  19039  01eq0ring  19042  vieta1lem2  23815  tgldimor  25142  isusgra0  25670  usgraop  25673  usgrafisindb0  25731  wwlkn0s  26027  clwwlkgt0  26093  hashecclwwlkn1  26155  usghashecclwwlk  26156  vdusgra0nedg  26229  usgravd0nedg  26239  vdn0frgrav2  26344  vdgn0frgrav2  26345  frgrawopreg  26370  frgregordn0  26391  frgrareg  26438  frgraregord013  26439  frgraregord13  26440  frgraogt3nreg  26441  friendshipgt3  26442  hasheuni  29268  signstfvn  29766  signstfveq0a  29773  signshnz  29788  elmrsubrn  30465  prprrab  40187  upgredg  40362  uhgr0vsize0  40457  uhgr0edgfi  40458  usgr1v0e  40537  fusgrfisbase  40539  vtxd0nedgb  40695  vtxdusgr0edgnelALT  40703  usgrvd0nedg  40741  cyclnsPth  40998  iswwlksnx  41034  isclwwlksnx  41189  umgrclwwlksge2  41211  clwwisshclwws  41227  hashecclwwlksn1  41253  umgrhashecclwwlk  41254  vdn0conngrumgrv2  41355  frgrwopreg  41478  frrusgrord0  41495  av-frgraregord013  41541  av-frgraregord13  41542  av-frgraogt3nreg  41543  av-friendshipgt3  41544  lindsrng01  42043