Theorem hasheq0 13727

Description: Two ways of saying a finite set is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hasheq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Proof of Theorem hasheq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnre 10684	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∉ ℝ
2	1	neli 3127	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
3		hashinf 13698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
4	3	eleq1d 2899	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ∈ ℝ ↔ +∞ ∈ ℝ))
5	2, 4	mtbiri 329	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
6		id 22	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) = 0)
7		0re 10645	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	6, 7	eqeltrdi 2923	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = 0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
9	5, 8	nsyl 142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (♯‘𝐴) = 0)
10		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
11		0fin 8748	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ Fin
12	10, 11	eqeltrdi 2923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	con3i 157	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 = ∅)
14	13	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 = ∅)
15	9, 14	2falsed 379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
16	15	ex 415	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅)))
17		hashen 13710	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∅ ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
18	11, 17	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ 𝐴 ≈ ∅))
19		fz10 12931	. . . . . 6 ⊢ (1...0) = ∅
20	19	fveq2i 6675	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = (♯‘∅)
21		0nn0 11915	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
22		hashfz1 13709	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...0)) = 0)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (♯‘(1...0)) = 0
24	20, 23	eqtr3i 2848	. . . 4 ⊢ (♯‘∅) = 0
25	24	eqeq2i 2836	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐴) = (♯‘∅) ↔ (♯‘𝐴) = 0)
26		en0 8574	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
27	18, 25, 26	3bitr3g 315	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
28	16, 27	pm2.61d2 183	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ≈ cen 8508  Fincfn 8511  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540  +∞cpnf 10674  ℕ₀cn0 11900  ...cfz 12895  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hashneq0  13728  hashnncl  13730  hash0  13731  hashelne0d  13732  hashgt0  13752  hashle00  13764  seqcoll2  13826  prprrab  13834  hashle2pr  13838  hashge2el2difr  13842  ccat0  13931  ccat1st1st  13986  wrdind  14086  wrd2ind  14087  swrdccat3blem  14103  rev0  14128  repsw0  14141  cshwidx0  14170  fz1f1o  15069  hashbc0  16343  0hashbc  16345  ram0  16360  cshws0  16437  symgvalstruct  18527  gsmsymgrfix  18558  sylow1lem1  18725  sylow1lem4  18728  sylow2blem3  18749  frgpnabllem1  18995  0ringnnzr  20044  01eq0ring  20047  vieta1lem2  24902  tgldimor  26290  uhgr0vsize0  27023  uhgr0edgfi  27024  usgr1v0e  27110  fusgrfisbase  27112  vtxd0nedgb  27272  vtxdusgr0edgnelALT  27280  usgrvd0nedg  27317  vtxdginducedm1lem4  27326  finsumvtxdg2size  27334  cyclnspth  27583  iswwlksnx  27620  umgrclwwlkge2  27771  clwwisshclwws  27795  hashecclwwlkn1  27858  umgrhashecclwwlk  27859  vdn0conngrumgrv2  27977  frgrwopreg  28104  frrusgrord0lem  28120  wlkl0  28148  frgrregord013  28176  frgrregord13  28177  frgrogt3nreg  28178  friendshipgt3  28179  wrdt2ind  30629  tocyc01  30762  lvecdim0i  31006  hasheuni  31346  signstfvn  31841  signstfveq0a  31848  signshnz  31863  spthcycl  32378  usgrgt2cycl  32379  acycgr1v  32398  umgracycusgr  32403  cusgracyclt3v  32405  elmrsubrn  32769  lindsrng01  44530