MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hasheqf1oiOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheqf1oiOLD 13078
Description: Obsolete version of hasheqf1oi 13077 as of 4-May-2021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Dec-2017.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hasheqf1oiOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊

Proof of Theorem hasheqf1oiOLD
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hasheqf1o 13074 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
21biimprd 238 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
32a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
4 fiinfnf1o 13075 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
54pm2.21d 118 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
65a1d 25 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
7 fiinfnf1o 13075 . . . 4 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
8 19.41v 1916 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)))
9 f1orel 6099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝑓)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → Rel 𝑓)
11 f1ocnvb 6109 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝑓 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
13 f1of 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝑓:𝐴𝐵)
15 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
16 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
17 fex2 7071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴𝐵𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝑓 ∈ V)
1814, 15, 16, 17syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝑓 ∈ V)
19 cnvexg 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
20 f1oeq1 6086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1-onto𝐴))
2120spcegv 3285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴))
23 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2512, 24sylbid 230 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2625com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
2726anabsi5 857 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
2827exlimiv 1860 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
298, 28sylbir 225 . . . . . 6 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
3029ex 450 . . . . 5 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
3130com13 88 . . . 4 (¬ ∃𝑔 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
327, 31syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
3332ancoms 469 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
34 hashinf 13059 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
3534expcom 451 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) = +∞))
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) = +∞))
3736com12 32 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞))
3938impcom 446 . . . . 5 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐴) = +∞)
40 hashinf 13059 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞)
4140expcom 451 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) = +∞))
4241adantl 482 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) = +∞))
4342com12 32 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞))
4443adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) = +∞))
4544impcom 446 . . . . 5 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐵) = +∞)
4639, 45eqtr4d 2663 . . . 4 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
4746a1d 25 . . 3 (((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
4847ex 450 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵))))
493, 6, 33, 484cases 989 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (#‘𝐴) = (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  Vcvv 3191  ccnv 5078  Rel wrel 5084  wf 5846  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  Fincfn 7900  +∞cpnf 10016  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  hashf1rnOLD  13080
  Copyright terms: Public domain W3C validator