Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1 13187
 Description: The permutation number ∣ 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = ∣ 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashf1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem hashf1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1eq2 6059 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:∅–1-1𝐵))
2 f1fn 6064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 Fn ∅)
3 fn0 5973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 Fn ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
42, 3sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 = ∅)
5 f10 6131 . . . . . . . . . . . 12 ∅:∅–1-1𝐵
6 f1eq1 6058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1𝐵 ↔ ∅:∅–1-1𝐵))
75, 6mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ∅ → 𝑓:∅–1-1𝐵)
84, 7impbii 199 . . . . . . . . . 10 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 = ∅)
9 velsn 4169 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
108, 9bitr4i 267 . . . . . . . . 9 (𝑓:∅–1-1𝐵𝑓 ∈ {∅})
111, 10syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓 ∈ {∅}))
1211abbi1dv 2740 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {∅})
1312fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{∅}))
14 0ex 4755 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
15 hashsng 13107 . . . . . . 7 (∅ ∈ V → (#‘{∅}) = 1)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘{∅}) = 1
1713, 16syl6eq 2671 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = 1)
18 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
19 hash0 13106 . . . . . . . . 9 (#‘∅) = 0
2018, 19syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
2120fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘0))
22 fac0 13011 . . . . . . 7 (!‘0) = 1
2321, 22syl6eq 2671 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (!‘(#‘𝑥)) = 1)
2420oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C0))
2523, 24oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = (1 · ((#‘𝐵)C0)))
2617, 25eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0))))
2726imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0)))))
28 f1eq2 6059 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:𝑦1-1𝐵))
2928abbidv 2738 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})
3029fveq2d 6157 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}))
31 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (#‘𝑥) = (#‘𝑦))
3231fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘𝑦)))
3331oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))
3432, 33oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))
3530, 34eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
3635imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))))
37 f1eq2 6059 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵))
3837abbidv 2738 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵})
3938fveq2d 6157 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}))
40 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (#‘𝑥) = (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
4140fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4240oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
4341, 42oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
4439, 43eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
4544imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
46 f1eq2 6059 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵))
4746abbidv 2738 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → {𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵} = {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵})
4847fveq2d 6157 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}))
49 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (#‘𝑥) = (#‘𝐴))
5049fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (!‘(#‘𝑥)) = (!‘(#‘𝐴)))
5149oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)) = ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))
5250, 51oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
5348, 52eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥))) ↔ (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))))
5453imbi2d 330 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑥1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑥)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))))
55 hashcl 13095 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
56 bcn0 13045 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐵)C0) = 1)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵)C0) = 1)
5857oveq2d 6626 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (1 · ((#‘𝐵)C0)) = (1 · 1))
59 1t1e1 11127 . . . 4 (1 · 1) = 1
6058, 59syl6req 2672 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((#‘𝐵)C0)))
61 abn0 3933 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵)
62 f1domg 7927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ Fin → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
64 vex 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
65 hashunsng 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1)))
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
6867breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
69 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
70 snfi 7990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑧} ∈ Fin
71 unfi 8179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
7269, 70, 71sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
73 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → 𝐵 ∈ Fin)
74 hashdom 13116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
7572, 73, 74syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
76 hashcl 13095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ Fin → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
7776ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
78 nn0p1nn 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
8079nnred 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
8155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8281nn0red 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
8380, 82lenltd 10135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵) ↔ ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8468, 75, 833bitr3d 298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵 ↔ ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8563, 84sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8685exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵 → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8761, 86syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ({𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} ≠ ∅ → ¬ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
8887necon4ad 2809 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1) → {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} = ∅))
8988imp 445 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → {𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵} = ∅)
9089fveq2d 6157 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = (#‘∅))
91 hashcl 13095 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
9272, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0)
93 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
9594nncnd 10988 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
9695adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
9796mul01d 10187 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0) = 0)
9819, 90, 973eqtr4a 2681 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
9967adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
10099oveq2d 6626 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)))
10181adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
10279adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
103102nnzd 11433 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
104 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1))
105104olcd 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (((#‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)))
106 bcval4 13042 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℤ ∧ (((#‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1))) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = 0)
107101, 103, 105, 106syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = 0)
108100, 107eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = 0)
109108oveq2d 6626 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
11098, 109eqtr4d 2658 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
111110a1d 25 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ (#‘𝐵) < ((#‘𝑦) + 1)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
112 oveq2 6618 . . . . . . 7 ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
11369adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
11473adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
115 simplrr 800 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ¬ 𝑧𝑦)
116 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵))
117113, 114, 115, 116hashf1lem2 13186 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})))
11881adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
119 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℕ)
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℕ)
121120nncnd 10988 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝐵)) ∈ ℂ)
12277adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ ℕ0)
123 peano2nn0 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0)
125 nn0sub2 11390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
126124, 118, 116, 125syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0)
127 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
129128nncnd 10988 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ∈ ℂ)
130128nnne0d 11017 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) ≠ 0)
131121, 129, 130divcld 10753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) ∈ ℂ)
132 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑦) + 1) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
133124, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
134133nncnd 10988 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ∈ ℂ)
135133nnne0d 11017 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝑦) + 1)) ≠ 0)
136131, 134, 135divcan2d 10755 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))))
137118nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
138122nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ ℂ)
139137, 138subcld 10344 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℂ)
140 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
141 npcan 10242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) = ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))
142139, 140, 141sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) = ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))
143 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
144137, 138, 143subsub4d 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) = ((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))
145144, 126eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0)
146 nn0p1nn 11284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
148142, 147eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ)
149148nnne0d 11017 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ≠ 0)
150131, 139, 149divcan2d 10755 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))))
151136, 150eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
15267adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((#‘𝑦) + 1))
153152fveq2d 6157 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (!‘((#‘𝑦) + 1)))
154 nn0uz 11674 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
155124, 154syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘0))
156118nn0zd 11432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
157 elfz5 12284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((#‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) → (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
158155, 156, 157syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)))
159116, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)))
160 bcval2 13040 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
161159, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
162152oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((#‘𝐵)C((#‘𝑦) + 1)))
163121, 129, 134, 130, 135divdiv1d 10784 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
164161, 162, 1633eqtr4d 2665 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1))))
165153, 164oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘((#‘𝑦) + 1)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / (!‘((#‘𝑦) + 1)))))
166122, 154syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ (ℤ‘0))
167 peano2fzr 12304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑦) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ∈ (0...(#‘𝐵))) → (#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)))
168166, 159, 167syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)))
169 bcval2 13040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
171 elfzle2 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑦) ∈ (0...(#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵))
172168, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵))
173 nn0sub2 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝑦) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑦) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0)
174122, 118, 172, 173syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0)
175 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ0 → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℕ)
176174, 175syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℕ)
177176nncnd 10988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ∈ ℂ)
178 faccl 13018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑦) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℕ)
179122, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℕ)
180179nncnd 10988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ∈ ℂ)
181176nnne0d 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) ≠ 0)
182179nnne0d 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(#‘𝑦)) ≠ 0)
183121, 177, 180, 181, 182divdiv1d 10784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) · (!‘(#‘𝑦)))))
184170, 183eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦))))
185184oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))))
186 facnn2 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) ∈ ℕ → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
187148, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
188144fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) = (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))))
189188oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) − 1)) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
190187, 189eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
191190oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
192121, 177, 181divcld 10753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) ∈ ℂ)
193192, 180, 182divcan2d 10755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))) = ((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
194121, 129, 139, 130, 149divdiv1d 10784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))) = ((!‘(#‘𝐵)) / ((!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1))) · ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
195191, 193, 1943eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))) / (!‘(#‘𝑦)))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
196185, 195eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) = (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦))))
197196oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (((!‘(#‘𝐵)) / (!‘((#‘𝐵) − ((#‘𝑦) + 1)))) / ((#‘𝐵) − (#‘𝑦)))))
198151, 165, 1973eqtr4d 2665 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))))
199117, 198eqeq12d 2636 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) ↔ (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵})) = (((#‘𝐵) − (#‘𝑦)) · ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))))))
200112, 199syl5ibr 236 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) ∧ ((#‘𝑦) + 1) ≤ (#‘𝐵)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
201111, 200, 82, 80ltlecasei 10097 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦)) → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
202201expcom 451 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (𝐵 ∈ Fin → ((#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦))) → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
203202a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝑦1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝑦)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝑦)))) → (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1𝐵}) = ((!‘(#‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((#‘𝐵)C(#‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
20427, 36, 45, 54, 60, 203findcard2s 8153 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴)))))
205204imp 445 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐵}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐵)C(#‘𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  {cab 2607   ≠ wne 2790  Vcvv 3189   ∪ cun 3557  ∅c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618   Fn wfn 5847  –1-1→wf1 5849  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ≼ cdom 7905  Fincfn 7907  ℂcc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026   ≤ cle 10027   − cmin 10218   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℕ0cn0 11244  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  ...cfz 12276  !cfa 13008  Ccbc 13037  #chash 13065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-seq 12750  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066 This theorem is referenced by:  hashfac  13188  birthdaylem2  24596
 Copyright terms: Public domain W3C validator