hashf1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem hashf1 13809

Description: The permutation number ∣ 𝐴 ∣ ! · ( ∣ 𝐵 ∣ C ∣ 𝐴 ∣ ) = ∣ 𝐵 ∣ ! / ( ∣ 𝐵 ∣ − ∣ 𝐴 ∣ )! counts the number of injections from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashf1	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑓 𝐵,𝑓

Proof of Theorem hashf1 Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq2 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:∅–1-1→𝐵))
2		f1fn 6570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 Fn ∅)
3		fn0 6473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 Fn ∅ ↔ 𝑓 = ∅)
4	2, 3	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 → 𝑓 = ∅)
5		f10 6641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅:∅–1-1→𝐵
6		f1eq1 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ∅ → (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ ∅:∅–1-1→𝐵))
7	5, 6	mpbiri 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ∅ → 𝑓:∅–1-1→𝐵)
8	4, 7	impbii 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 = ∅)
9		velsn 4576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ {∅} ↔ 𝑓 = ∅)
10	8, 9	bitr4i 280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓:∅–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅})
11	1, 10	syl6bb 289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓 ∈ {∅}))
12	11	abbi1dv 2952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {∅})
13	12	fveq2d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{∅}))
14		0ex 5203	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
15		hashsng 13724	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ V → (♯‘{∅}) = 1)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{∅}) = 1
17	13, 16	syl6eq 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = 1)
18		fveq2 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
19		hash0 13722	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘∅) = 0
20	18, 19	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
21	20	fveq2d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘0))
22		fac0 13630	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
23	21, 22	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (!‘(♯‘𝑥)) = 1)
24	20	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C0))
25	23, 24	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
26	17, 25	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0))))
27	26	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))))
28		f1eq2 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵))
29	28	abbidv 2885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})
30	29	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}))
31		2fveq3 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝑦)))
32		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
33	32	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))
34	31, 33	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))
35	30, 34	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
36	35	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
37		f1eq2 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵))
38	37	abbidv 2885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵})
39	38	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}))
40		2fveq3 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
41		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
42	41	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
43	40, 42	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
44	39, 43	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
45	44	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
46		f1eq2 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝐵 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
47	46	abbidv 2885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵})
48	47	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}))
49		2fveq3 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (!‘(♯‘𝑥)) = (!‘(♯‘𝐴)))
50		fveq2 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
51	50	oveq2d 7166	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)) = ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))
52	49, 51	oveq12d 7168	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))
53	48, 52	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥))) ↔ (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
54	53	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑥–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑥)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑥)))) ↔ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))))
55		hashcl 13711	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
56		bcn0 13664	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
57	55, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵)C0) = 1)
58	57	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (1 · ((♯‘𝐵)C0)) = (1 · 1))
59		1t1e1 11793	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
60	58, 59	syl6req 2873	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 1 = (1 · ((♯‘𝐵)C0)))
61		abn0 4335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵)
62		f1domg 8523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
63	62	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
64		hashunsng 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ V → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
65	64	elv 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
66	65	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
67	66	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
68		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin)
69		snfi 8588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {𝑧} ∈ Fin
70		unfi 8779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
71	68, 69, 70	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
72		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → 𝐵 ∈ Fin)
73		hashdom 13734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
74	71, 72, 73	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵))
75		hashcl 13711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
76	75	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
77		nn0p1nn 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
79	78	nnred 11647	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℝ)
80	55	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
81	80	nn0red 11950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
82	79, 81	lenltd 10780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵) ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
83	67, 74, 82	3bitr3d 311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ≼ 𝐵 ↔ ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
84	63, 83	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
85	84	exlimdv 1930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (∃𝑓 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵 → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
86	61, 85	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ({𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} ≠ ∅ → ¬ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
87	86	necon4ad 3035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅))
88	87	imp 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → {𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵} = ∅)
89	88	fveq2d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (♯‘∅))
90		hashcl 13711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ₀)
91	71, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ ℕ₀)
92	91	faccld 13638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℕ)
93	92	nncnd 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
94	93	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) ∈ ℂ)
95	94	mul01d 10833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0) = 0)
96	19, 89, 95	3eqtr4a 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
97	66	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
98	97	oveq2d 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
99	80	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
100	78	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
101	100	nnzd 12080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ)
102		animorr 975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)))
103		bcval4 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℤ ∧ (((♯‘𝑦) + 1) < 0 ∨ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1))) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
104	99, 101, 102, 103	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = 0)
105	98, 104	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = 0)
106	105	oveq2d 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · 0))
107	96, 106	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))
108	107	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ (♯‘𝐵) < ((♯‘𝑦) + 1)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
109		oveq2 7158	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
110	68	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ Fin)
111	72	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
112		simplrr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
113		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵))
114	110, 111, 112, 113	hashf1lem2 13808	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})))
115	80	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
116	115	faccld 13638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℕ)
117	116	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝐵)) ∈ ℂ)
118	76	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ₀)
119		peano2nn0 11931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀)
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀)
121		nn0sub2 12037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ₀)
122	120, 115, 113, 121	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ₀)
123	122	faccld 13638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℕ)
124	123	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ∈ ℂ)
125	123	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) ≠ 0)
126	117, 124, 125	divcld 11410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) ∈ ℂ)
127	120	faccld 13638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℕ)
128	127	nncnd 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ∈ ℂ)
129	127	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝑦) + 1)) ≠ 0)
130	126, 128, 129	divcan2d 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
131	115	nn0cnd 11951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
132	118	nn0cnd 11951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ ℂ)
133	131, 132	subcld 10991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
134		ax-1cn 10589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
135		npcan 10889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
136	133, 134, 135	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) = ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))
137		1cnd 10630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
138	131, 132, 137	subsub4d 11022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) = ((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))
139	138, 122	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ₀)
140		nn0p1nn 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) ∈ ℕ₀ → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1) + 1) ∈ ℕ)
142	136, 141	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
143	142	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ≠ 0)
144	126, 133, 143	divcan2d 11412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))))
145	130, 144	eqtr4d 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
146	66	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
147	146	fveq2d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (!‘((♯‘𝑦) + 1)))
148		nn0uz 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
149	120, 148	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
150	115	nn0zd 12079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
151		elfz5 12894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((♯‘𝑦) + 1) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
152	149, 150, 151	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) ↔ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)))
153	113, 152	mpbird 259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
154		bcval2 13659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
156	146	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = ((♯‘𝐵)C((♯‘𝑦) + 1)))
157	117, 124, 128, 125, 129	divdiv1d 11441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
158	155, 156, 157	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1))))
159	147, 158	oveq12d 7168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = ((!‘((♯‘𝑦) + 1)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / (!‘((♯‘𝑦) + 1)))))
160	118, 148	eleqtrdi 2923	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (ℤ_≥‘0))
161		peano2fzr 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
162	160, 153, 161	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
163		bcval2 13659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
165		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑦) ∈ (0...(♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
166	162, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵))
167		nn0sub2 12037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘𝑦) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝑦) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
168	118, 115, 166, 167	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ₀)
169	168	faccld 13638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℕ)
170	169	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ∈ ℂ)
171	118	faccld 13638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℕ)
172	171	nncnd 11648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ∈ ℂ)
173	169	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) ≠ 0)
174	171	nnne0d 11681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(♯‘𝑦)) ≠ 0)
175	117, 170, 172, 173, 174	divdiv1d 11441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) · (!‘(♯‘𝑦)))))
176	164, 175	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦))))
177	176	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))))
178		facnn2 13636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) ∈ ℕ → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
179	142, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
180	138	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) = (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))))
181	180	oveq1d 7165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) − 1)) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
182	179, 181	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
183	182	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
184	117, 170, 173	divcld 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) ∈ ℂ)
185	184, 172, 174	divcan2d 11412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
186	117, 124, 133, 125, 143	divdiv1d 11441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))) = ((!‘(♯‘𝐵)) / ((!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1))) · ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
187	183, 185, 186	3eqtr4d 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))) / (!‘(♯‘𝑦)))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
188	177, 187	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) = (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦))))
189	188	oveq2d 7166	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (((!‘(♯‘𝐵)) / (!‘((♯‘𝐵) − ((♯‘𝑦) + 1)))) / ((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)))))
190	145, 159, 189	3eqtr4d 2866	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))))
191	114, 190	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))) ↔ (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵})) = (((♯‘𝐵) − (♯‘𝑦)) · ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))))))
192	109, 191	syl5ibr 248	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ ((♯‘𝑦) + 1) ≤ (♯‘𝐵)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
193	108, 192, 81, 79	ltlecasei 10742	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))))
194	193	expcom 416	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦))) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
195	194	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦) → ((𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝑦–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝑦)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝑦)))) → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:(𝑦 ∪ {𝑧})–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))) · ((♯‘𝐵)C(♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))))))
196	27, 36, 45, 54, 60, 195	findcard2s 8753	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴)))))
197	196	imp 409	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐵)C(♯‘𝐴))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1533 ∃wex 1776 ∈ wcel 2110 {cab 2799 ≠ wne 3016 Vcvv 3494 ∪ cun 3933 ∅c0 4290 {csn 4560 class class class wbr 5058 Fn wfn 6344 –1-1→wf1 6346 ‘cfv 6349 (class class class)co 7150 ≼ cdom 8501 Fincfn 8503 ℂcc 10529 0cc0 10531 1c1 10532 + caddc 10534 · cmul 10536 < clt 10669 ≤ cle 10670 − cmin 10864 / cdiv 11291 ℕcn 11632 ℕ₀cn0 11891 ℤcz 11975 ℤ_≥cuz 12237 ...cfz 12886 !cfa 13627 Ccbc 13656 ♯chash 13684

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-rep 5182 ax-sep 5195 ax-nul 5202 ax-pow 5258 ax-pr 5321 ax-un 7455 ax-cnex 10587 ax-resscn 10588 ax-1cn 10589 ax-icn 10590 ax-addcl 10591 ax-addrcl 10592 ax-mulcl 10593 ax-mulrcl 10594 ax-mulcom 10595 ax-addass 10596 ax-mulass 10597 ax-distr 10598 ax-i2m1 10599 ax-1ne0 10600 ax-1rid 10601 ax-rnegex 10602 ax-rrecex 10603 ax-cnre 10604 ax-pre-lttri 10605 ax-pre-lttrn 10606 ax-pre-ltadd 10607 ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-pss 3953 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4561 df-pr 4563 df-tp 4565 df-op 4567 df-uni 4832 df-int 4869 df-iun 4913 df-br 5059 df-opab 5121 df-mpt 5139 df-tr 5165 df-id 5454 df-eprel 5459 df-po 5468 df-so 5469 df-fr 5508 df-we 5510 df-xp 5555 df-rel 5556 df-cnv 5557 df-co 5558 df-dm 5559 df-rn 5560 df-res 5561 df-ima 5562 df-pred 6142 df-ord 6188 df-on 6189 df-lim 6190 df-suc 6191 df-iota 6308 df-fun 6351 df-fn 6352 df-f 6353 df-f1 6354 df-fo 6355 df-f1o 6356 df-fv 6357 df-riota 7108 df-ov 7153 df-oprab 7154 df-mpo 7155 df-om 7575 df-1st 7683 df-2nd 7684 df-wrecs 7941 df-recs 8002 df-rdg 8040 df-1o 8096 df-2o 8097 df-oadd 8100 df-er 8283 df-map 8402 df-pm 8403 df-en 8504 df-dom 8505 df-sdom 8506 df-fin 8507 df-dju 9324 df-card 9362 df-pnf 10671 df-mnf 10672 df-xr 10673 df-ltxr 10674 df-le 10675 df-sub 10866 df-neg 10867 df-div 11292 df-nn 11633 df-n0 11892 df-xnn0 11962 df-z 11976 df-uz 12238 df-fz 12887 df-seq 13364 df-fac 13628 df-bc 13657 df-hash 13685

This theorem is referenced by: hashfac 13810 birthdaylem2 25524

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