MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rn 13079
Description: The size of a finite set which is a one-to-one function is equal to the size of the function's range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by AV, 4-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rn ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹))

Proof of Theorem hashf1rn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6060 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
21anim2i 592 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝑉𝐹:𝐴𝐵))
32ancomd 467 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉))
4 fex 6445 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
6 f1o2ndf1 7231 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
7 df-2nd 7117 . . . . . . . . 9 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
87funmpt2 5887 . . . . . . . 8 Fun 2nd
9 resfunexg 6434 . . . . . . . 8 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
108, 5, 9sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
11 f1oeq1 6086 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1211biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1312eqcoms 2634 . . . . . . . 8 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1413adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1510, 14spcimedv 3283 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1615ex 450 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1716com13 88 . . . 4 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
186, 17mpcom 38 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1918impcom 446 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
20 hasheqf1oi 13077 . 2 (𝐹 ∈ V → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
215, 19, 20sylc 65 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  Vcvv 3191  {csn 4153   cuni 4407  ran crn 5080  cres 5081  Fun wfun 5844  wf 5846  1-1wf1 5847  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  2nd c2nd 7115  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  hashimarn  13162  usgrsizedg  25994
  Copyright terms: Public domain W3C validator