MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashf1rnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashf1rnOLD 13090
Description: Obsolete version of hashf1rn 13089 as of 4-May-2021. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jan-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashf1rnOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))

Proof of Theorem hashf1rnOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 6063 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2 fex 6450 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
32ex 450 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
41, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉𝐹 ∈ V))
54com12 32 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 ∈ V))
76imp 445 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
8 rnexg 7052 . . . 4 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
97, 8jccir 561 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V))
10 f1o2ndf1 7237 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
11 df-2nd 7121 . . . . . . . . . 10 2nd = (𝑥 ∈ V ↦ ran {𝑥})
1211funmpt2 5890 . . . . . . . . 9 Fun 2nd
132expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴𝐵𝐹 ∈ V))
151, 14syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐹 ∈ V))
1615impcom 446 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ V)
17 resfunexg 6439 . . . . . . . . 9 ((Fun 2nd𝐹 ∈ V) → (2nd𝐹) ∈ V)
1812, 16, 17sylancr 694 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (2nd𝐹) ∈ V)
19 f1oeq1 6089 . . . . . . . . . . 11 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2019biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((2nd𝐹) = 𝑓 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2120eqcoms 2629 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (2nd𝐹) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑓 = (2nd𝐹)) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2318, 22spcimedv 3281 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2423ex 450 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2524com13 88 . . . . 5 ((2nd𝐹):𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
2610, 25mpcom 38 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
2726impcom 446 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹)
28 hasheqf1oiOLD 13088 . . 3 ((𝐹 ∈ V ∧ ran 𝐹 ∈ V) → (∃𝑓 𝑓:𝐹1-1-onto→ran 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
299, 27, 28sylc 65 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹))
3029ex 450 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (#‘𝐹) = (#‘ran 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   cuni 4407  ran crn 5080  cres 5081  Fun wfun 5846  wf 5848  1-1wf1 5849  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  2nd c2nd 7119  #chash 13064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-hash 13065
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator