Theorem hashfac 13280

Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfac	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(#‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashf1 13279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐴)C(#‘𝐴))))
2	1	anidms 678	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐴)C(#‘𝐴))))
3		enrefg 8029	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ≈ 𝐴)
4		f1finf1o 8228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
5	3, 4	mpancom 704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴–1-1→𝐴 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴))
6	5	abbidv 2770	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴} = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴})
7	6	fveq2d 6233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1→𝐴}) = (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}))
8		hashcl 13185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
9		bcnn 13139	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐴)C(#‘𝐴)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴)C(#‘𝐴)) = 1)
11	10	oveq2d 6706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐴)C(#‘𝐴))) = ((!‘(#‘𝐴)) · 1))
12		faccl 13110	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 11074	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (!‘(#‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	14	mulid1d 10095	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(#‘𝐴)) · 1) = (!‘(#‘𝐴)))
16	11, 15	eqtrd 2685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(#‘𝐴)) · ((#‘𝐴)C(#‘𝐴))) = (!‘(#‘𝐴)))
17	2, 7, 16	3eqtr3d 2693	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘{𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}) = (!‘(#‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   class class class wbr 4685  –1-1→wf1 5923  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  1c1 9975   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  !cfa 13100  Ccbc 13129  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  symghash  17851  subfaclefac  31284  poimirlem9  33548