MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfac 13804
Description: A factorial counts the number of bijections on a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfac (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem hashfac
StepHypRef Expression
1 hashf1 13803 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
21anidms 567 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))))
3 enrefg 8529 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
4 f1finf1o 8733 . . . . 5 ((𝐴𝐴𝐴 ∈ Fin) → (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐴))
53, 4mpancom 684 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝑓:𝐴1-1𝐴𝑓:𝐴1-1-onto𝐴))
65abbidv 2882 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → {𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴} = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴})
76fveq2d 6667 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1𝐴}) = (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}))
8 hashcl 13705 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9 bcnn 13660 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴)) = 1)
1110oveq2d 7161 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = ((!‘(♯‘𝐴)) · 1))
128faccld 13632 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℕ)
1312nncnd 11642 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (!‘(♯‘𝐴)) ∈ ℂ)
1413mulid1d 10646 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · 1) = (!‘(♯‘𝐴)))
1511, 14eqtrd 2853 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((!‘(♯‘𝐴)) · ((♯‘𝐴)C(♯‘𝐴))) = (!‘(♯‘𝐴)))
162, 7, 153eqtr3d 2861 1 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘{𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}) = (!‘(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796   class class class wbr 5057  1-1wf1 6345  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cen 8494  Fincfn 8497  1c1 10526   · cmul 10530  0cn0 11885  !cfa 13621  Ccbc 13650  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  symghash  18441  subfaclefac  32320  poimirlem9  34782
  Copyright terms: Public domain W3C validator