MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfun 13036
Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfun (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfn 5819 . . 3 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
2 hashfn 12977 . . 3 (𝐹 Fn dom 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
31, 2sylbi 205 . 2 (Fun 𝐹 → (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹))
4 dmfi 8106 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5 hashcl 12961 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
76nn0red 11199 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9 df-rel 5035 . . . . . . . . . . . . 13 (Rel 𝐹𝐹 ⊆ (V × V))
10 dfss3 3557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
119, 10bitri 262 . . . . . . . . . . . 12 (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1211notbii 308 . . . . . . . . . . 11 (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13 rexnal 2977 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
1412, 13bitr4i 265 . . . . . . . . . 10 (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15 dmun 5240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
1615fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17 dmsnn0 5504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
1817biimpri 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
1918necon1bi 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20193ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
2120uneq2d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22 un0 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
2321, 22syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
2423fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
2516, 24syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26 diffi 8054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27 dmfi 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3130nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3326, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37 fidomdm 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39 hashdom 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4028, 26, 39syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
4138, 40mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
4234ltp1d 10803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4331, 34, 36, 41, 42lelttrd 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44433ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
4525, 44eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46 snfi 7900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥} ∈ Fin
47 incom 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥}))
48 disjdif 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥})) = ∅
4947, 48eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
50 hashun 12984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
5146, 49, 50mp3an23 1407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
5226, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})))
53 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
54 hashsng 12972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (#‘{𝑥}) = 1)
5553, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘{𝑥}) = 1
5655oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (#‘{𝑥})) = ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
5752, 56syl6req 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
58573ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((#‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
5945, 58breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
60 difsnid 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
6160dmeqd 5235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
6261fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
63623ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘dom 𝐹))
6460fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐹 → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
65643ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (#‘𝐹))
6659, 63, 653brtr3d 4608 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
6766rexlimdv3a 3014 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
6814, 67syl5bi 230 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹)))
6968imp 443 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
708, 69gtned 10023 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
7170ex 448 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
7271necon4bd 2801 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
7372imp 443 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
74 2nalexn 1744 . . . . . . . 8 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
75 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
7675anbi2i 725 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
77 annim 439 . . . . . . . . . . . 12 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7876, 77bitri 262 . . . . . . . . . . 11 (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
7978exbii 1763 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
80 exnal 1743 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
8179, 80bitr2i 263 . . . . . . . . 9 (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
82812exbii 1764 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
8374, 82bitri 262 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧))
847adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
85 2re 10937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
86 diffi 8054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
87 dmfi 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
89 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
9190nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
9291adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
93 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
9485, 92, 93sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
95 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
9695nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
9796adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
98 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
99 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
10098, 91, 99sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
10285, 91, 93sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
103102adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
104 dmun 5240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
105 opex 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
106 opex 4853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
107105, 106prss 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
108 undif 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
109107, 108sylbb 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
110109dmeqd 5235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
111104, 110syl5reqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
112 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
113 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 ∈ V
114112, 113dmprop 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
115 dfsn2 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
116114, 115eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
117116uneq1i 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
118111, 117syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
119118fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120119ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) = (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
121 hashun2 12985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12246, 88, 121sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
12355oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘{𝑥}) + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
124122, 123syl6breq 4618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
126120, 125eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) ≤ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
127 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
128 ltadd1 10344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
12998, 85, 91, 128mp3an12i 1419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
130127, 129mpbii 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
131130adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (1 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
13284, 101, 103, 126, 131lelttrd 10046 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
133 fidomdm 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
13486, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
135 hashdom 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
13688, 86, 135syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
137134, 136mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
138 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
13986, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
140139nn0red 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Fin → (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
141 leadd2 10346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
14285, 141mp3an3 1404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
14391, 140, 142syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
144137, 143mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Fin → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
145144adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
146 prfi 8097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
147 disjdif 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
148 hashun 12984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149146, 147, 148mp3an13 1406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
15086, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Fin → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
151150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
152109fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
153152ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
15453, 112opth 4865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥𝑦 = 𝑧))
155154simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
156155necon3i 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
157 hashprg 12995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
158105, 106, 157mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
159156, 158sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑧 → (#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
160159oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑧 → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
161160ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → ((#‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
162151, 153, 1613eqtr3rd 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (#‘𝐹))
163145, 162breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (2 + (#‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (#‘𝐹))
16484, 94, 97, 132, 163ltletrd 10048 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘dom 𝐹) < (#‘𝐹))
16584, 164gtned 10023 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧)) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹))
166165ex 448 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
167166exlimdv 1847 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
168167exlimdvv 1848 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
16983, 168syl5bi 230 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (#‘𝐹) ≠ (#‘dom 𝐹)))
170169necon4bd 2801 . . . . 5 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171170imp 443 . . . 4 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
172 dffun4 5802 . . . 4 (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥𝑦𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
17373, 171, 172sylanbrc 694 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
174173ex 448 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
1753, 174impbid2 214 1 (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (#‘𝐹) = (#‘dom 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124  {cpr 4126  cop 4130   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  Rel wrel 5033  Fun wfun 5784   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  cdom 7816  Fincfn 7818  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  0cn0 11139  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  ccatalpha  13174  cusgrasizeinds  25770
  Copyright terms: Public domain W3C validator