Theorem hashfun 13790

Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfun	⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Proof of Theorem hashfun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6378	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		hashfn 13728	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn dom 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
3	1, 2	sylbi 219	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 → (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹))
4		dmfi 8794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom 𝐹 ∈ Fin)
5		hashcl 13709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℕ0)
7	6	nn0red 11948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
9		df-rel 5555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ 𝐹 ⊆ (V × V))
10		dfss3 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ⊆ (V × V) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
11	9, 10	bitri 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
12	11	notbii 322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
13		rexnal 3236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐹 𝑥 ∈ (V × V))
14	12, 13	bitr4i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ Rel 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V))
15		dmun 5772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})
16	15	fveq2i 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}))
17		dmsnn0 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ (V × V) ↔ dom {𝑥} ≠ ∅)
18	17	biimpri 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (dom {𝑥} ≠ ∅ → 𝑥 ∈ (V × V))
19	18	necon1bi 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (V × V) → dom {𝑥} = ∅)
20	19	3ad2ant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → dom {𝑥} = ∅)
21	20	uneq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅))
22		un0 4342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ ∅) = dom (𝐹 ∖ {𝑥})
23	21, 22	syl6eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥}) = dom (𝐹 ∖ {𝑥}))
24	23	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘(dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ dom {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
25	16, 24	syl5eq 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})))
26		diffi 8742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
27		dmfi 8794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
29		hashcl 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
31	30	nn0red 11948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
32		hashcl 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℕ0)
34	33	nn0red 11948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ)
35		peano2re 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ∈ ℝ → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) ∈ ℝ)
37		fidomdm 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥}))
39		hashdom 13732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
40	28, 26, 39	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) ↔ dom (𝐹 ∖ {𝑥}) ≼ (𝐹 ∖ {𝑥})))
41	38, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})))
42	34	ltp1d 11562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
43	31, 34, 36, 41, 42	lelttrd 10790	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
44	43	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
45	25, 44	eqbrtrd 5079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1))
46		snfi 8586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑥} ∈ Fin
47		incom 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥}))
48		disjdif 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑥} ∩ (𝐹 ∖ {𝑥})) = ∅
49	47, 48	eqtri 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅
50		hashun 13735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin ∧ {𝑥} ∈ Fin ∧ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
51	46, 49, 50	mp3an23 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
52	26, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})))
53		hashsng 13722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ V → (♯‘{𝑥}) = 1)
54	53	elv 3498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘{𝑥}) = 1
55	54	oveq2i 7159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + (♯‘{𝑥})) = ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1)
56	52, 55	syl6req 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
57	56	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → ((♯‘(𝐹 ∖ {𝑥})) + 1) = (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
58	45, 57	breqtrd 5083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) < (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
59		difsnid 4735	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐹)
60	59	dmeqd 5767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = dom 𝐹)
61	60	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
62	61	3ad2ant2 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom ((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘dom 𝐹))
63	59	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐹 → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
64	63	3ad2ant2 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘((𝐹 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (♯‘𝐹))
65	58, 62, 64	3brtr3d 5088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝐹 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (V × V)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
66	65	rexlimdv3a 3284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥 ∈ 𝐹 ¬ 𝑥 ∈ (V × V) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
67	14, 66	syl5bi 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹)))
68	67	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
69	8, 68	gtned 10767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ Rel 𝐹) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
70	69	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ Rel 𝐹 → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
71	70	necon4bd 3034	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Rel 𝐹))
72	71	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Rel 𝐹)
73		2nalexn 1822	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
74		df-ne 3015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑦 = 𝑧)
75	74	anbi2i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧))
76		annim 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
77	75, 76	bitri 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
78	77	exbii 1842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
79		exnal 1821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ¬ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
80	78, 79	bitr2i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
81	80	2exbii 1843	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥∃𝑦 ¬ ∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
82	73, 81	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
83	7	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
84		2re 11703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
85		diffi 8742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
86		dmfi 8794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin)
88		hashcl 13709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
90	89	nn0red 11948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
91	90	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
92		readdcl 10612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
93	84, 91, 92	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
94		hashcl 13709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
95	94	nn0red 11948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
96	95	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
97		1re 10633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
98		readdcl 10612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
99	97, 90, 98	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
100	99	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
101	84, 90, 92	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
102	101	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ∈ ℝ)
103		dmun 5772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
104		opex 5347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V
105		opex 5347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V
106	104, 105	prss 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ↔ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹)
107		undif 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ⊆ 𝐹 ↔ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
108	106, 107	sylbb 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = 𝐹)
109	108	dmeqd 5767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = dom 𝐹)
110	103, 109	syl5reqr 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
111		vex 3496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
112		vex 3496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑧 ∈ V
113	111, 112	dmprop 6067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥, 𝑥}
114		dfsn2 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥} = {𝑥, 𝑥}
115	113, 114	eqtr4i 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} = {𝑥}
116	115	uneq1i 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (dom {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
117	110, 116	syl6eq 2870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → dom 𝐹 = ({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
118	117	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
119	118	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) = (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
120		hashun2 13736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑥} ∈ Fin ∧ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
121	46, 87, 120	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
122	54	oveq1i 7158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘{𝑥}) + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
123	121, 122	breqtrdi 5098	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
124	123	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({𝑥} ∪ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
125	119, 124	eqbrtrd 5079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) ≤ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
126		1lt2 11800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
127		ltadd1 11099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
128	97, 84, 90, 127	mp3an12i 1459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 < 2 ↔ (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
129	126, 128	mpbii 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
130	129	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (1 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
131	83, 100, 102, 125, 130	lelttrd 10790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
132		fidomdm 8793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
133	85, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))
134		hashdom 13732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
135	87, 85, 134	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ≼ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
136	133, 135	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))
137		hashcl 13709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
138	85, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℕ0)
139	138	nn0red 11948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ)
140		leadd2 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
141	84, 140	mp3an3 1444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ∈ ℝ) → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
142	90, 139, 141	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ≤ (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) ↔ (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})))))
143	136, 142	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
144	143	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
145		prfi 8785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin
146		disjdif 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅
147		hashun 13735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∈ Fin ∧ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin ∧ ({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∩ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩})) = ∅) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
148	145, 146, 147	mp3an13 1446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
149	85, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
150	149	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
151	108	fveq2d 6667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
152	151	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘({⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩} ∪ (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
153		vex 3496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑥 ∈ V
154	153, 111	opth 5359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑦 = 𝑧))
155	154	simprbi 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → 𝑦 = 𝑧)
156	155	necon3i 3046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩)
157		hashprg 13748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ V) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2))
158	104, 105, 157	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ≠ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ↔ (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
159	156, 158	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → (♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) = 2)
160	159	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑧 → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
161	160	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((♯‘{⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}) + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))))
162	150, 152, 161	3eqtr3rd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘(𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) = (♯‘𝐹))
163	144, 162	breqtrd 5083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (2 + (♯‘dom (𝐹 ∖ {⟨𝑥, 𝑦⟩, ⟨𝑥, 𝑧⟩}))) ≤ (♯‘𝐹))
164	83, 93, 96, 131, 163	ltletrd 10792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘dom 𝐹) < (♯‘𝐹))
165	83, 164	gtned 10767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹))
166	165	ex 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
167	166	exlimdv 1928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
168	167	exlimdvv 1929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (∃𝑥∃𝑦∃𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
169	82, 168	syl5bi 244	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (¬ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧) → (♯‘𝐹) ≠ (♯‘dom 𝐹)))
170	169	necon4bd 3034	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
171	170	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧))
172		dffun4 6360	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ (Rel 𝐹 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹 ∧ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝐹) → 𝑦 = 𝑧)))
173	72, 171, 172	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)) → Fun 𝐹)
174	173	ex 415	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → ((♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹) → Fun 𝐹))
175	3, 174	impbid2 228	1 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (Fun 𝐹 ↔ (♯‘𝐹) = (♯‘dom 𝐹)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082  ∀wal 1529   = wceq 1531  ∃wex 1774   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   ∖ cdif 3931   ∪ cun 3932   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559  {cpr 4561  ⟨cop 4565   class class class wbr 5057   × cxp 5546  dom cdm 5548  Rel wrel 5553  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ≼ cdom 8499  Fincfn 8501  ℝcr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668  2c2 11684  ℕ₀cn0 11889  ♯chash 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683

This theorem is referenced by:  hashres  13791  hashreshashfun  13792  ccatalpha  13939  cycpmconjslem2  30790  hashfundm  32347