Theorem hashfxnn0 13700

Description: The size function is a function into the extended nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.) (Revised by AV, 10-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
hashfxnn0	⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Proof of Theorem hashfxnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
3	1, 2	hashkf 13695	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
4		pnfex 10696	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ V
5	4	fconst 6567	. . . 4 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
6	3, 5	pm3.2i 473	. . 3 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞})
7		disjdif 4423	. . 3 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
8		fun 6542	. . 3 ⊢ (((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 ∧ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}) ∧ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅) → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
9	6, 7, 8	mp2an 690	. 2 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
10		df-hash 13694	. . . 4 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
11		eqid 2823	. . . 4 ⊢ V = V
12		df-xnn0 11971	. . . 4 ⊢ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})
13		feq123 6506	. . . 4 ⊢ ((♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ∧ V = V ∧ ℕ0* = (ℕ0 ∪ {+∞})) → (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})))
14	10, 11, 12, 13	mp3an 1457	. . 3 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
15		unvdif 4425	. . . 4 ⊢ (Fin ∪ (V ∖ Fin)) = V
16	15	feq2i 6508	. . 3 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
17	14, 16	bitr4i 280	. 2 ⊢ (♯:V⟶ℕ0* ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})):(Fin ∪ (V ∖ Fin))⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
18	9, 17	mpbir 233	1 ⊢ ♯:V⟶ℕ0*

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937  ∅c0 4293  {csn 4569   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555   ↾ cres 5559   ∘ ccom 5561  ⟶wf 6353  (class class class)co 7158  ωcom 7582  reccrdg 8047  Fincfn 8511  cardccrd 9366  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  +∞cpnf 10674  ℕ₀cn0 11900  ℕ₀^*cxnn0 11970  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hashf  13701  hashxnn0  13702