MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 13694
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21cardfz 13326 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
32fveq2d 6667 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4 fzfid 13329 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 13681 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (♯‘(1...𝑁)))
71hashgf1o 13327 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8 f1ocnvfv2 7025 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
97, 8mpan 686 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2861 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cmpt 5137  ccnv 5547  cres 5550  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  ωcom 7569  reccrdg 8034  Fincfn 8497  cardccrd 9352  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  0cn0 11885  ...cfz 12880  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  fz1eqb  13703  isfinite4  13711  hasheq0  13712  hashsng  13718  fseq1hash  13725  hashdom  13728  hashfz  13776  ishashinf  13809  isercolllem2  15010  isercoll  15012  summolem3  15059  summolem2a  15060  o1fsum  15156  climcndslem1  15192  climcndslem2  15193  harmonic  15202  mertenslem1  15228  prodmolem3  15275  prodmolem2a  15276  risefallfac  15366  bpolylem  15390  phicl2  16093  phibnd  16096  hashdvds  16100  phiprmpw  16101  eulerth  16108  pcfac  16223  prmreclem2  16241  prmreclem3  16242  prmreclem5  16244  4sqlem11  16279  vdwlem12  16316  ramub2  16338  ramlb  16343  0ram  16344  ram0  16346  dfod2  18620  gsumval3  18956  uniioombllem4  24114  birthdaylem2  25457  birthdaylem3  25458  basellem4  25588  basellem5  25589  basellem8  25592  ppiltx  25681  vmasum  25719  logfac2  25720  chpval2  25721  chpchtsum  25722  chpub  25723  logfaclbnd  25725  bposlem1  25787  lgsqrlem4  25852  gausslemma2dlem6  25875  lgseisenlem4  25881  lgsquadlem1  25883  lgsquadlem2  25884  lgsquadlem3  25885  dchrmusum2  25997  dchrisum0lem2a  26020  mudivsum  26033  mulogsumlem  26034  selberglem2  26049  ballotlem1  31643  ballotlemfmpn  31651  derangen2  32318  subfaclefac  32320  subfacp1lem1  32323  erdszelem10  32344  erdsze2lem1  32347  snmlff  32473  bcprod  32867  bj-finsumval0  34455  eldioph2lem1  39235  rp-isfinite5  39761  rp-isfinite6  39762  stoweidlem38  42200  dirkertrigeq  42263  etransclem32  42428  nn0mulfsum  44612  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator