MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz1 12945
Description: The set (1...𝑁) has 𝑁 elements. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashfz1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)

Proof of Theorem hashfz1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2606 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
21cardfz 12583 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (card‘(1...𝑁)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁))
32fveq2d 6089 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)))
4 fzfid 12586 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
51hashgval 12934 . . 3 ((1...𝑁) ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (#‘(1...𝑁)))
64, 5syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘(1...𝑁))) = (#‘(1...𝑁)))
71hashgf1o 12584 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
8 f1ocnvfv2 6408 . . 3 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
97, 8mpan 701 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘𝑁)) = 𝑁)
103, 6, 93eqtr3d 2648 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  cmpt 4634  ccnv 5024  cres 5027  1-1-ontowf1o 5786  cfv 5787  (class class class)co 6524  ωcom 6931  reccrdg 7366  Fincfn 7815  cardccrd 8618  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792  0cn0 11136  ...cfz 12149  #chash 12931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-hash 12932
This theorem is referenced by:  fz1eqb  12956  isfinite4  12963  hasheq0  12964  hashsng  12969  fseq1hash  12975  hashdom  12978  hashfz  13023  ishashinf  13053  isercolllem2  14187  isercoll  14189  fz1f1o  14231  summolem3  14235  summolem2a  14236  o1fsum  14329  climcndslem1  14363  climcndslem2  14364  harmonic  14373  mertenslem1  14398  prodmolem3  14445  prodmolem2a  14446  risefallfac  14537  bpolylem  14561  phicl2  15254  phibnd  15257  hashdvds  15261  phiprmpw  15262  eulerth  15269  pcfac  15384  prmreclem2  15402  prmreclem3  15403  prmreclem5  15405  4sqlem11  15440  vdwlem12  15477  ramub2  15499  ramlb  15504  0ram  15505  ram0  15507  dfod2  17747  gsumval3  18074  uniioombllem4  23074  birthdaylem2  24393  birthdaylem3  24394  basellem4  24524  basellem5  24525  basellem8  24528  ppiltx  24617  vmasum  24655  logfac2  24656  chpval2  24657  chpchtsum  24658  chpub  24659  logfaclbnd  24661  bposlem1  24723  lgsqrlem4  24788  gausslemma2dlem6  24811  lgseisenlem4  24817  lgsquadlem1  24819  lgsquadlem2  24820  lgsquadlem3  24821  dchrmusum2  24897  dchrisum0lem2a  24920  mudivsum  24933  mulogsumlem  24934  selberglem2  24949  eupai  26257  ballotlem1  29678  ballotlemfmpn  29686  derangen2  30213  subfaclefac  30215  subfacp1lem1  30218  erdszelem10  30239  erdsze2lem1  30242  snmlff  30368  bcprod  30680  bj-finsumval0  32124  eldioph2lem1  36141  rp-isfinite5  36682  rp-isfinite6  36683  stoweidlem38  38732  dirkertrigeq  38795  etransclem32  38960  nn0mulfsum  42215  aacllem  42316
  Copyright terms: Public domain W3C validator