Theorem hashfzo 13793

Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfzo	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem hashfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12251	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12091	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	subidd 10988	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
4		fzo0 13064	. . . . . 6 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅
5	4	fveq2i 6676	. . . . 5 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (♯‘∅)
6		hash0 13731	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
7	5, 6	eqtri 2847	. . . 4 ⊢ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = 0
8	3, 7	syl6reqr 2878	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
9		oveq2 7167	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
10	9	fveq2d 6677	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴..^𝐴)))
11		oveq1 7166	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴))
12	10, 11	eqeq12d 2840	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → ((♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴) ↔ (♯‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴 − 𝐴)))
13	8, 12	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
14		eluzelz 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15		fzoval 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
17	16	fveq2d 6677	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
18	17	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19		hashfz 13791	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
20	14	zcnd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		1cnd 10639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
22	20, 21, 2	sub32d 11032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵 − 𝐴) − 1))
23	22	oveq1d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1))
24	20, 2	subcld 11000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
25		ax-1cn 10598	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		npcan 10898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
27	24, 25, 26	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 𝐴) − 1) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
28	23, 27	eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵 − 𝐴))
29	19, 28	sylan9eqr 2881	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵 − 𝐴))
30	18, 29	eqtrd 2859	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	ex 415	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴)))
32		uzm1 12279	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝐴)))
33	13, 31, 32	mpjaod 856	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∅c0 4294  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543   − cmin 10873  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hashfzo0  13794  pntlemr  26181  circlemethhgt  31918