MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzo 13156
Description: Cardinality of a half-open set of integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfzo (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzo
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11636 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 11427 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32subidd 10324 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴𝐴) = 0)
4 fzo0 12433 . . . . . 6 (𝐴..^𝐴) = ∅
54fveq2i 6151 . . . . 5 (#‘(𝐴..^𝐴)) = (#‘∅)
6 hash0 13098 . . . . 5 (#‘∅) = 0
75, 6eqtri 2643 . . . 4 (#‘(𝐴..^𝐴)) = 0
83, 7syl6reqr 2674 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴))
9 oveq2 6612 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴..^𝐵) = (𝐴..^𝐴))
109fveq2d 6152 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴..^𝐴)))
11 oveq1 6611 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (𝐵𝐴) = (𝐴𝐴))
1210, 11eqeq12d 2636 . . 3 (𝐵 = 𝐴 → ((#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (#‘(𝐴..^𝐴)) = (𝐴𝐴)))
138, 12syl5ibrcom 237 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
14 eluzelz 11641 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
15 fzoval 12412 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴..^𝐵) = (𝐴...(𝐵 − 1)))
1716fveq2d 6152 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
1817adantr 481 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))))
19 hashfz 13154 . . . . 5 ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1))
2014zcnd 11427 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 1cnd 10000 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
2220, 21, 2sub32d 10368 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) − 𝐴) = ((𝐵𝐴) − 1))
2322oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (((𝐵𝐴) − 1) + 1))
2420, 2subcld 10336 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
25 ax-1cn 9938 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
26 npcan 10234 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 26sylancl 693 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵𝐴) − 1) + 1) = (𝐵𝐴))
2823, 27eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (((𝐵 − 1) − 𝐴) + 1) = (𝐵𝐴))
2919, 28sylan9eqr 2677 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘(𝐴...(𝐵 − 1))) = (𝐵𝐴))
3018, 29eqtrd 2655 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
3130ex 450 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴)))
32 uzm1 11662 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴 ∨ (𝐵 − 1) ∈ (ℤ𝐴)))
3313, 31, 32mpjaod 396 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘(𝐴..^𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  hashfzo0  13157  pntlemr  25191
  Copyright terms: Public domain W3C validator