MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfzp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfzp1 13166
Description: Value of the numeric cardinality of a (possibly empty) integer range. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashfzp1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))

Proof of Theorem hashfzp1
StepHypRef Expression
1 hash0 13106 . . . 4 (#‘∅) = 0
2 eluzelre 11650 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ltp1d 10906 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 < (𝐵 + 1))
4 eluzelz 11649 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 peano2z 11370 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
65ancri 574 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
7 fzn 12307 . . . . . . 7 (((𝐵 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
84, 6, 73syl 18 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 < (𝐵 + 1) ↔ ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅))
93, 8mpbid 222 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 + 1)...𝐵) = ∅)
109fveq2d 6157 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (#‘∅))
114zcnd 11435 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1211subidd 10332 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐵) = 0)
131, 10, 123eqtr4a 2681 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵))
14 oveq1 6617 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 + 1) = (𝐵 + 1))
1514oveq1d 6625 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 + 1)...𝐵) = ((𝐵 + 1)...𝐵))
1615fveq2d 6157 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)))
17 oveq2 6618 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1816, 17eqeq12d 2636 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴) ↔ (#‘((𝐵 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐵)))
1913, 18syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
20 uzp1 11673 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
21 pm2.24 121 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2221eqcoms 2629 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
23 ax-1 6 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2422, 23jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2520, 24syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1))))
2625impcom 446 . . . . 5 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)))
27 hashfz 13162 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ‘(𝐴 + 1)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
2826, 27syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1))
29 eluzel2 11644 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
3029zcnd 11435 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 1cnd 10008 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
3211, 30, 31nppcan2d 10370 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3332adantl 482 . . . 4 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐵 − (𝐴 + 1)) + 1) = (𝐵𝐴))
3428, 33eqtrd 2655 . . 3 ((¬ 𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
3534ex 450 . 2 𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴)))
3619, 35pm2.61i 176 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (#‘((𝐴 + 1)...𝐵)) = (𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   < clt 10026  cmin 10218  cz 11329  cuz 11639  ...cfz 12276  #chash 13065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-hash 13066
This theorem is referenced by:  2lgslem1  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator