MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2difr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2difr 13068
Description: A set with at least 2 different elements has size at least 2. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2difr ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2difr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashv01gt1 12947 . . 3 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)))
2 hasheq0 12967 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = ∅))
3 rexeq 3115 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦))
4 rex0 3893 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦
5 pm2.21 118 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
64, 5mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ∅ ∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
73, 6sylbid 228 . . . . . 6 (𝐷 = ∅ → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
82, 7syl6bi 241 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 0 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
98com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 0 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
10 hash1snb 13020 . . . . . 6 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 ↔ ∃𝑧 𝐷 = {𝑧}))
11 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → 𝐷 = {𝑧})
12 rexeq 3115 . . . . . . . . . 10 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
1311, 12rexeqbidv 3129 . . . . . . . . 9 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦))
14 vex 3175 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
15 neeq1 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑦𝑧𝑦))
1615rexbidv 3033 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦))
1714, 16rexsn 4169 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦)
18 neeq2 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑧𝑦𝑧𝑧))
1914, 18rexsn 4169 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑧𝑦𝑧𝑧)
2017, 19bitri 262 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ {𝑧}∃𝑦 ∈ {𝑧}𝑥𝑦𝑧𝑧)
2113, 20syl6bb 274 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦𝑧𝑧))
22 equid 1925 . . . . . . . . 9 𝑧 = 𝑧
23 eqneqall 2792 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑧 → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2422, 23mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝐷 = {𝑧} → (𝑧𝑧 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2521, 24sylbid 228 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2625exlimiv 1844 . . . . . 6 (∃𝑧 𝐷 = {𝑧} → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
2710, 26syl6bi 241 . . . . 5 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) = 1 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
2827com12 32 . . . 4 ((#‘𝐷) = 1 → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
29 hashnn0pnf 12944 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞))
30 1z 11240 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℤ
31 nn0z 11233 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (#‘𝐷) ∈ ℤ)
32 zltp1le 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3332biimpd 217 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐷) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
3430, 31, 33sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → (1 + 1) ≤ (#‘𝐷)))
35 df-2 10926 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3635breq1i 4584 . . . . . . . . . 10 (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝐷))
3734, 36syl6ibr 240 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
38 2re 10937 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
3938rexri 9948 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
40 pnfge 11801 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ +∞)
42 breq2 4581 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐷) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝐷) ↔ 2 ≤ +∞))
4341, 42mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐷) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝐷))
4443a1d 25 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐷) = +∞ → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4537, 44jaoi 392 . . . . . . . 8 (((#‘𝐷) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐷) = +∞) → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4629, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝐷𝑉 → (1 < (#‘𝐷) → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4746impcom 444 . . . . . 6 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → 2 ≤ (#‘𝐷))
4847a1d 25 . . . . 5 ((1 < (#‘𝐷) ∧ 𝐷𝑉) → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
4948ex 448 . . . 4 (1 < (#‘𝐷) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
509, 28, 493jaoi 1382 . . 3 (((#‘𝐷) = 0 ∨ (#‘𝐷) = 1 ∨ 1 < (#‘𝐷)) → (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷))))
511, 50mpcom 37 . 2 (𝐷𝑉 → (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 → 2 ≤ (#‘𝐷)))
5251imp 443 1 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦) → 2 ≤ (#‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13069  structgrssvtxlem  40258
  Copyright terms: Public domain W3C validator