Theorem hashgf1o 13342

Description: 𝐺 maps ω one-to-one onto ℕ₀. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
fzennn.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgf1o	⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Proof of Theorem hashgf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11995	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		fzennn.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3	1, 2	om2uzf1oi 13324	. 2 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)
4		nn0uz 12283	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		f1oeq3 6608	. . 3 ⊢ (ℕ0 = (ℤ≥‘0) → (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)))
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0 ↔ 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
7	3, 6	mpbir 233	1 ⊢ 𝐺:ω–1-1-onto→ℕ0

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1537  Vcvv 3496   ↦ cmpt 5148   ↾ cres 5559  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ωcom 7582  reccrdg 8047  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247

This theorem is referenced by:  fzfi  13343  nnenom  13351  hashkf  13695  hashginv  13697  hashfz1  13709  hashcl  13720  hashgadd  13741  hashdom  13743  ackbijnn  15185