MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt0elex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt0elex 13129
Description: If the size of a set is greater than zero, the set must contain at least one element. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashgt0elex ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (#‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem hashgt0elex
StepHypRef Expression
1 alnex 1703 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉)
2 eq0 3905 . . . . . . . . . 10 (𝑉 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉)
32biimpri 218 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉𝑉 = ∅)
43a1d 25 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
51, 4sylbir 225 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → (𝑉𝑊𝑉 = ∅))
65impcom 446 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → 𝑉 = ∅)
7 hashle00 13128 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ((#‘𝑉) ≤ 0 ↔ 𝑉 = ∅))
96, 8mpbird 247 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (#‘𝑉) ≤ 0)
10 hashxrcl 13088 . . . . . . . 8 (𝑉𝑊 → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
11 0xr 10030 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12 xrlenlt 10047 . . . . . . . 8 (((#‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (#‘𝑉)))
1310, 11, 12sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) ≤ 0 ↔ ¬ 0 < (#‘𝑉)))
1413bicomd 213 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (¬ 0 < (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) ≤ 0))
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → (¬ 0 < (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) ≤ 0))
169, 15mpbird 247 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ ¬ ∃𝑥 𝑥𝑉) → ¬ 0 < (#‘𝑉))
1716ex 450 . . 3 (𝑉𝑊 → (¬ ∃𝑥 𝑥𝑉 → ¬ 0 < (#‘𝑉)))
1817con4d 114 . 2 (𝑉𝑊 → (0 < (#‘𝑉) → ∃𝑥 𝑥𝑉))
1918imp 445 1 ((𝑉𝑊 ∧ 0 < (#‘𝑉)) → ∃𝑥 𝑥𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  0cc0 9880  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  hashgt0elexb  13130  fi1uzind  13218  brfi1indALT  13221  fi1uzindOLD  13224  brfi1indALTOLD  13227
  Copyright terms: Public domain W3C validator