Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el 13422
 Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
Distinct variable groups:   𝑊,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el
StepHypRef Expression
1 hash0 13370 . . . 4 (♯‘∅) = 0
2 fveq2 6353 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (♯‘∅) = (♯‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2808 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (♯‘𝑉))
4 breq2 4808 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 219 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) = 0 → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2768 . . . . . 6 (0 = (♯‘𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 10763 . . . . . . 7 0 ≤ 1
8 0re 10252 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 1re 10251 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10369 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 120 . . . . . . . 8 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1210, 11sylbi 207 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (1 < 0 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
146, 13syl6com 37 . . . . 5 (1 < (♯‘𝑉) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1514adantl 473 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (0 = (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
1615com12 32 . . 3 (0 = (♯‘𝑉) → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
173, 16syl 17 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
18 df-ne 2933 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
19 necom 2985 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
2018, 19bitr3i 266 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
21 ralnex 3130 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
22 ralnex 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏)
23 nne 2936 . . . . . . . . . . . 12 𝑎𝑏𝑎 = 𝑏)
24 equcom 2100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑎)
2523, 24bitri 264 . . . . . . . . . . 11 𝑎𝑏𝑏 = 𝑎)
2625ralbii 3118 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2722, 26bitr3i 266 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2827ralbii 3118 . . . . . . . 8 (∀𝑎𝑉 ¬ ∃𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
2921, 28bitr3i 266 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 ↔ ∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎)
30 eqsn 4506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3130adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (𝑉 = {𝑎} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎))
3231bicomd 213 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎𝑉 = {𝑎}))
3332ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 ↔ ∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎}))
34 fveq2 6353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) = (♯‘{𝑎}))
35 hashsnle1 13417 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘{𝑎}) ≤ 1
3634, 35syl6eqbr 4843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉𝑊𝑎𝑉) → (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
3837reximdva0 4076 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
39 r19.36v 3223 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎𝑉 (𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉 𝑉 = {𝑎} → (♯‘𝑉) ≤ 1))
4133, 40sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → (♯‘𝑉) ≤ 1))
42 hashxrcl 13360 . . . . . . . . . 10 (𝑉𝑊 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
4342adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ*)
449rexri 10309 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
45 xrlenlt 10315 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4643, 44, 45sylancl 697 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4741, 46sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑏 = 𝑎 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4829, 47syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (¬ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏 → ¬ 1 < (♯‘𝑉)))
4948con4d 114 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (1 < (♯‘𝑉) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5049impancom 455 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5150com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5220, 51sylbi 207 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏))
5317, 52pm2.61i 176 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑎𝑏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  ♯chash 13331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332 This theorem is referenced by:  ring1ne0  18811  frgrwopreglem5  27496  frgrwopreglem5ALT  27497
 Copyright terms: Public domain W3C validator