MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 13025
Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 12973 . . . 4 (#‘∅) = 0
2 fveq2 6087 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (#‘∅) = (#‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2657 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (#‘𝑉))
4 breq2 4581 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 217 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2617 . . . . 5 (0 = (#‘𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 10402 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 9896 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10008 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 118 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 205 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 36 . . . 4 (1 < (#‘𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1075 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2781 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 2834 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 264 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 2974 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2785 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 262 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 2962 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 264 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 13020 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) = (#‘{𝐴}))
3231breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (#‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (#‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
409rexri 9948 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 9954 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4336, 42sylibd 227 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4425, 43syl5bi 230 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4544con4d 112 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 627 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 92 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1248 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 205 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 174 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5789  0cc0 9792  1c1 9793  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  #chash 12936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-fz 12155  df-hash 12937
This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  26333  conngrv2edg  41343  3cyclfrgrrn  41437  copisnmnd  41580
  Copyright terms: Public domain W3C validator