Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashinf 13314
 Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashinf ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)

Proof of Theorem hashinf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3350 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 eldif 3723 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3 df-hash 13310 . . . . . . 7 ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
43reseq1i 5545 . . . . . 6 (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin))
5 resundir 5567 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ (V ∖ Fin)) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)))
6 disjdif 4182 . . . . . . . . 9 (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
7 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
8 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
97, 8hashkf 13311 . . . . . . . . . 10 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
10 ffn 6204 . . . . . . . . . 10 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
11 fnresdisj 6160 . . . . . . . . . 10 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . . . . 9 ((Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅ ↔ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅)
136, 12mpbi 220 . . . . . . . 8 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) = ∅
14 pnfex 10283 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ V
1514fconst 6250 . . . . . . . . 9 ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
16 ffn 6204 . . . . . . . . 9 (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
17 fnresdm 6159 . . . . . . . . 9 (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞}))
1815, 16, 17mp2b 10 . . . . . . . 8 (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
1913, 18uneq12i 3906 . . . . . . 7 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
20 uncom 3898 . . . . . . 7 (∅ ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) = (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅)
21 un0 4108 . . . . . . 7 (((V ∖ Fin) × {+∞}) ∪ ∅) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
2219, 20, 213eqtri 2784 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ (V ∖ Fin)) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ (V ∖ Fin))) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
234, 5, 223eqtri 2784 . . . . 5 (♯ ↾ (V ∖ Fin)) = ((V ∖ Fin) × {+∞})
2423fveq1i 6351 . . . 4 ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴)
25 fvres 6366 . . . 4 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → ((♯ ↾ (V ∖ Fin))‘𝐴) = (♯‘𝐴))
2614fvconst2 6631 . . . 4 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) × {+∞})‘𝐴) = +∞)
2724, 25, 263eqtr3a 2816 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
282, 27sylbir 225 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
291, 28sylan 489 1 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘𝐴) = +∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  Vcvv 3338   ∖ cdif 3710   ∪ cun 3711   ∩ cin 3712  ∅c0 4056  {csn 4319   ↦ cmpt 4879   × cxp 5262   ↾ cres 5266   ∘ ccom 5268   Fn wfn 6042  ⟶wf 6043  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ωcom 7228  reccrdg 7672  Fincfn 8119  cardccrd 8949  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129  +∞cpnf 10261  ℕ0cn0 11482  ♯chash 13309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-hash 13310 This theorem is referenced by:  hashbnd  13315  hasheni  13328  hasheqf1oi  13332  hashclb  13339  nfile  13340  hasheq0  13344  hashdom  13358  hashdomi  13359  hashunx  13365  hashge1  13368  hashss  13387  hash1snb  13397  hashge2el2dif  13452  odhash  18187  lt6abl  18494  upgrfi  26183  esumpinfsum  30446  hasheuni  30454  pgrpgt2nabl  42655
 Copyright terms: Public domain W3C validator