Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashinfxadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The extended real addition of the size of an infinite set with the size of an arbitrary set yields plus infinity. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashinfxadd ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)

StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13077 . . . . 5 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2 df-nel 2894 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
32anbi2i 729 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ↔ (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
4 pm5.61 748 . . . . . . . 8 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ↔ ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
53, 4sylbb 209 . . . . . . 7 ((((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
65ex 450 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = +∞ ∨ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
76orcoms 404 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∉ ℕ0 → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)))
98imp 445 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
1093adant2 1078 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0))
11 oveq1 6617 . . . . 5 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)))
12 hashxrcl 13095 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
13 hashnemnf 13079 . . . . . . . 8 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ≠ -∞)
1412, 13jca 554 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
15143ad2ant2 1081 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞))
16 xaddpnf2 12008 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → (+∞ +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1811, 17sylan9eqr 2677 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) ∧ (#‘𝐴) = +∞) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
1918expcom 451 . . 3 ((#‘𝐴) = +∞ → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2019adantr 481 . 2 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ ¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞))
2110, 20mpcom 38 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   ∉ wnel 2893  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  +∞cpnf 10022  -∞cmnf 10023  ℝ*cxr 10024  ℕ0cn0 11243   +𝑒 cxad 11895  #chash 13064 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-xnn0 11315  df-z 11329  df-uz 11639  df-xadd 11898  df-hash 13065 This theorem is referenced by:  hashunx  13122
 Copyright terms: Public domain W3C validator