MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashle2pr 13823
Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashle2pr ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashxnn0 13687 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2 xnn0le2is012 12627 . . . . . . 7 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
31, 2sylan 580 . . . . . 6 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) ≤ 2) → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2))
43ex 413 . . . . 5 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2)))
5 hasheq0 13712 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6 eqneqall 3024 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
75, 6syl6bi 254 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
87com12 32 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 0 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 hash1snb 13768 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10 vex 3495 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
11 preq12 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12 dfsn2 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
1311, 12syl6eqr 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
1413eqeq2d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
1510, 10, 14spc2ev 3605 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1615exlimiv 1922 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
179, 16syl6bi 254 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) = 1 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
1817imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1918a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2019expcom 414 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21 hash2pr 13815 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
2221a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2322expcom 414 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 2 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
248, 20, 233jaoi 1419 . . . . . 6 (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑃𝑉 → (((♯‘𝑃) = 0 ∨ (♯‘𝑃) = 1 ∨ (♯‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
264, 25syld 47 . . . 4 (𝑃𝑉 → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2726com23 86 . . 3 (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2827imp 407 . 2 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29 fveq2 6663 . . . 4 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) = (♯‘{𝑎, 𝑏}))
30 hashprlei 13814 . . . . 5 ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
3130simpri 486 . . . 4 (♯‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
3229, 31eqbrtrdi 5096 . . 3 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3332exlimivv 1924 . 2 (∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (♯‘𝑃) ≤ 2)
3428, 33impbid1 226 1 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((♯‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3o 1078   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  c0 4288  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  Fincfn 8497  0cc0 10525  1c1 10526  cle 10664  2c2 11680  0*cxnn0 11955  chash 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679
This theorem is referenced by:  hashle2prv  13824
  Copyright terms: Public domain W3C validator