MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashle2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashle2pr 13213
Description: A nonempty set of size less than or equal to two is an unordered pair of sets. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashle2pr ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hashle2pr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashxnn0 13083 . . . . . . 7 (𝑃𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0*)
2 xnn0le2is012 12035 . . . . . . 7 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0* ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
31, 2sylan 488 . . . . . 6 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) ≤ 2) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2))
43ex 450 . . . . 5 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2)))
5 hasheq0 13110 . . . . . . . . 9 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
6 eqneqall 2801 . . . . . . . . 9 (𝑃 = ∅ → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
75, 6syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
87com12 32 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 0 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
9 hash1snb 13163 . . . . . . . . . . 11 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 ↔ ∃𝑐 𝑃 = {𝑐}))
10 vex 3193 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
11 preq12 4247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐, 𝑐})
12 dfsn2 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑐} = {𝑐, 𝑐}
1311, 12syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → {𝑎, 𝑏} = {𝑐})
1413eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = 𝑐𝑏 = 𝑐) → (𝑃 = {𝑎, 𝑏} ↔ 𝑃 = {𝑐}))
1510, 10, 14spc2ev 3291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1615exlimiv 1855 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑐 𝑃 = {𝑐} → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
179, 16syl6bi 243 . . . . . . . . . 10 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) = 1 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
1817imp 445 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
1918a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2019expcom 451 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
21 hash2pr 13205 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})
2221a1d 25 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑉 ∧ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
2322expcom 451 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 2 → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
248, 20, 233jaoi 1388 . . . . . 6 (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2524com12 32 . . . . 5 (𝑃𝑉 → (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ (#‘𝑃) = 2) → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
264, 25syld 47 . . . 4 (𝑃𝑉 → ((#‘𝑃) ≤ 2 → (𝑃 ≠ ∅ → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2726com23 86 . . 3 (𝑃𝑉 → (𝑃 ≠ ∅ → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏})))
2827imp 445 . 2 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 → ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
29 fveq2 6158 . . . 4 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) = (#‘{𝑎, 𝑏}))
30 hashprlei 13204 . . . . 5 ({𝑎, 𝑏} ∈ Fin ∧ (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2)
3130simpri 478 . . . 4 (#‘{𝑎, 𝑏}) ≤ 2
3229, 31syl6eqbr 4662 . . 3 (𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
3332exlimivv 1857 . 2 (∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏} → (#‘𝑃) ≤ 2)
3428, 33impbid1 215 1 ((𝑃𝑉𝑃 ≠ ∅) → ((#‘𝑃) ≤ 2 ↔ ∃𝑎𝑏 𝑃 = {𝑎, 𝑏}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  {csn 4155  {cpr 4157   class class class wbr 4623  cfv 5857  Fincfn 7915  0cc0 9896  1c1 9897  cle 10035  2c2 11030  0*cxnn0 11323  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  hashle2prv  13214
  Copyright terms: Public domain W3C validator