MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashneq0 13095
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0 (𝐴𝑉 → (0 < (#‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 13070 . . 3 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞))
2 nn0re 11245 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 11262 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (#‘𝐴))
4 ne0gt0 10086 . . . . . 6 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (#‘𝐴)) → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (#‘𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 692 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (#‘𝐴)))
65bicomd 213 . . . 4 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
7 breq2 4617 . . . . 5 ((#‘𝐴) = +∞ → (0 < (#‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8 neeq1 2852 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
9 0ltpnf 11900 . . . . . . 7 0 < +∞
10 0re 9984 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
11 renepnf 10031 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≠ +∞
1312necomi 2844 . . . . . . 7 +∞ ≠ 0
149, 132th 254 . . . . . 6 (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
158, 14syl6rbbr 279 . . . . 5 ((#‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
167, 15bitrd 268 . . . 4 ((#‘𝐴) = +∞ → (0 < (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
176, 16jaoi 394 . . 3 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝐴) = +∞) → (0 < (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
181, 17syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (0 < (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
19 hasheq0 13094 . . 3 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2019necon3bid 2834 . 2 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2118, 20bitrd 268 1 (𝐴𝑉 → (0 < (#‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015   < clt 10018  cle 10019  0cn0 11236  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  13096  wrdlenge1n0  13279  ccatws1n0  13347  swrdlsw  13390  2swrd1eqwrdeq  13392  ccats1swrdeq  13407  ccats1swrdeqrex  13416  wwlksnextinj  26663  clwwlksgt0  26772  clwwlksext2edg  26789  wwlksext2clwwlk  26790  clwwlkextfrlem1  27067  pfxsuff1eqwrdeq  40703  ccats1pfxeq  40717
  Copyright terms: Public domain W3C validator