MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnncl 13094
Description: Positive natural closure of the hash function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashnncl (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashnncl
StepHypRef Expression
1 nnne0 10998 . . 3 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (#‘𝐴) ≠ 0)
2 hashcl 13084 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3 elnn0 11239 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
42, 3sylib 208 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (#‘𝐴) = 0))
54ord 392 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (¬ (#‘𝐴) ∈ ℕ → (#‘𝐴) = 0))
65necon1ad 2813 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ≠ 0 → (#‘𝐴) ∈ ℕ))
71, 6impbid2 216 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (#‘𝐴) ≠ 0))
8 hasheq0 13091 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
98necon3bid 2840 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
107, 9bitrd 268 1 (𝐴 ∈ Fin → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  c0 3896  cfv 5850  Fincfn 7900  0cc0 9881  cn 10965  0cn0 11237  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  hashge1  13115  lennncl  13259  lswlgt0cl  13290  wrdind  13409  wrd2ind  13410  incexc  14489  incexc2  14490  ramub1  15651  gsumwmhm  17298  psgnunilem5  17830  psgnunilem4  17833  gexcl2  17920  sylow1lem3  17931  sylow1lem5  17933  pgpfi  17936  pgpfi2  17937  sylow2alem2  17949  sylow2blem3  17953  slwhash  17955  fislw  17956  sylow3lem3  17960  sylow3lem4  17961  efgsp1  18066  efgsres  18067  efgredlem  18076  lt6abl  18212  ablfacrp2  18382  ablfac1lem  18383  ablfac1b  18385  ablfac1c  18386  ablfac1eu  18388  pgpfac1lem2  18390  pgpfac1lem3a  18391  pgpfaclem2  18397  ablfaclem3  18402  lebnumlem3  22665  birthdaylem3  24575  birthday  24576  amgmlem  24611  amgm  24612  musum  24812  dchrabs  24880  dchrisum0flblem1  25092  cusgrrusgr  26341  wlkiswwlksupgr2  26626  frgrhash2wsp  27049  frgrreg  27100  derangfmla  30872  erdszelem2  30874  rrndstprj2  33248  rrncmslem  33249  rrnequiv  33252  isnumbasgrplem3  37142  fzisoeu  38965  fourierdlem54  39671  fourierdlem103  39720  fourierdlem104  39721  qndenserrnbllem  39808  ovnhoilem1  40109  hoiqssbllem1  40130  hoiqssbllem2  40131  hoiqssbllem3  40132  vonsn  40199  amgmlemALT  41826
  Copyright terms: Public domain W3C validator