MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashnnn0genn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashnnn0genn0 12945
Description: If the size of a set is not a nonnegative integer, it is greater than or equal to any nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashnnn0genn0 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (#‘𝑀))

Proof of Theorem hashnnn0genn0
StepHypRef Expression
1 df-nel 2782 . . . 4 ((#‘𝑀) ∉ ℕ0 ↔ ¬ (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
2 pm2.21 118 . . . 4 (¬ (#‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
31, 2sylbi 205 . . 3 ((#‘𝑀) ∉ ℕ0 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
433ad2ant2 1075 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
5 nn0re 11148 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 ltpnf 11791 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < +∞)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < +∞)
85rexrd 9945 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ*)
9 pnfxr 11781 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
10 xrltle 11817 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
118, 9, 10sylancl 692 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < +∞ → 𝑁 ≤ +∞))
127, 11mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ +∞)
13 breq2 4581 . . . 4 ((#‘𝑀) = +∞ → (𝑁 ≤ (#‘𝑀) ↔ 𝑁 ≤ +∞))
1412, 13syl5ibrcom 235 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
15143ad2ant3 1076 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) = +∞ → 𝑁 ≤ (#‘𝑀)))
16 hashnn0pnf 12944 . . 3 (𝑀𝑉 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
17163ad2ant1 1074 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
184, 15, 17mpjaod 394 1 ((𝑀𝑉 ∧ (#‘𝑀) ∉ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≤ (#‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2780   class class class wbr 4577  cfv 5790  cr 9791  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11139  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-hash 12935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator