Theorem hashnzfz 40659

Description: Special case of hashdvds 16114: the count of multiples in nℤ restricted to an interval. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashnzfz.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
hashnzfz.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
hashnzfz.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))

Assertion

Ref	Expression
hashnzfz	⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Proof of Theorem hashnzfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnzfz.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2		hashnzfz.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
3		hashnzfz.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)))
4		0zd 11996	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
5	1, 2, 3, 4	hashdvds 16114	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))))
6		elfzelz 12911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	subid1d 10988	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
9	8	breq2d 5080	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑁 ∥ 𝑥))
10	9	rabbiia 3474	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
11		dfrab3 4280	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
12		reldvds 40654	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ∥
13		relimasn 5954	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}
15	14	ineq2i 4188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
16		incom 4180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
17	15, 16	eqtr3i 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝐽...𝐾) ∩ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}) = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
18	10, 11, 17	3eqtri 2850	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)} = (( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))
19	18	fveq2i 6675	. . 3 ⊢ (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾)))
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∣ 𝑁 ∥ (𝑥 − 0)}) = (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))))
21		eluzelz 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝐽 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
22	3, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
24	23	subid1d 10988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 − 0) = 𝐾)
25	24	fvoveq1d 7180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐾 / 𝑁)))
26		peano2zm 12028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12091	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 1) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 10988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 1) − 0) = (𝐽 − 1))
30	29	fvoveq1d 7180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁)) = (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁)))
31	25, 30	oveq12d 7176	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐾 − 0) / 𝑁)) − (⌊‘(((𝐽 − 1) − 0) / 𝑁))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))
32	5, 20, 31	3eqtr3d 2866	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(( ∥ “ {𝑁}) ∩ (𝐽...𝐾))) = ((⌊‘(𝐾 / 𝑁)) − (⌊‘((𝐽 − 1) / 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2801  {crab 3144   ∩ cin 3937  {csn 4569   class class class wbr 5068   “ cima 5560  Rel wrel 5562  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539  1c1 10540   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  ⌊cfl 13163  ♯chash 13693   ∥ cdvds 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fl 13165  df-hash 13694  df-dvds 15610

This theorem is referenced by:  hashnzfz2  40660  hashnzfzclim  40661