Theorem hashprb 13761

Description: The size of an unordered pair is 2 if and only if its elements are different sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashprb	⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem hashprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashprg 13759	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝑀 ≠ 𝑁 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
2	1	biimp3a 1465	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
3		elprchashprn2 13760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
4		pm2.21 123	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
6		elprchashprn2 13760	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
7		prcom 4670	. . . . . . 7 ⊢ {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
8	7	fveq2i 6675	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = (♯‘{𝑀, 𝑁})
9	8	eqeq1i 2828	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
10	9, 4	sylnbi 332	. . . 4 ⊢ (¬ (♯‘{𝑁, 𝑀}) = 2 → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
11	6, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
12		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ∈ V)
13		simplr 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑁 ∈ V)
14	1	biimpar 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	12, 13, 14	3jca 1124	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	ex 415	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)))
17	5, 11, 16	ecase 1028	. 2 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
18	2, 17	impbii 211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  Vcvv 3496  {cpr 4571  ‘cfv 6357  2c2 11695  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hashprdifel  13762  prsshashgt1  13774  efmnd2hash  18061  symg2hash  18522  cplgr2vpr  27217