Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprgOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprgOLD 13120
 Description: Obsolete version of hashprg 13119 as of 18-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hashprgOLD ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprgOLD
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
2 elsni 4170 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
32eqcomd 2632 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
43necon3ai 2821 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5 snfi 7983 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
6 hashunsng 13118 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1)))
76imp 445 . . . . . 6 ((𝐵𝑉 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
85, 7mpanr1 718 . . . . 5 ((𝐵𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
91, 4, 8syl2an 494 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
10 hashsng 13096 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (#‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 481 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝐴}) = 1)
1312oveq1d 6620 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → ((#‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
149, 13eqtrd 2660 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15 df-pr 4156 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1615fveq2i 6153 . . 3 (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17 df-2 11024 . . 3 2 = (1 + 1)
1814, 16, 173eqtr4g 2685 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19 1ne2 11185 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → 1 ≠ 2)
2111, 20eqnetrd 2863 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
22 dfsn2 4166 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23 preq2 4244 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2422, 23syl5req 2673 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2524fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴}))
2625neeq1d 2855 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (#‘{𝐴}) ≠ 2))
2721, 26syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2827necon2d 2819 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
2928imp 445 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3018, 29impbida 876 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ≠ wne 2796   ∪ cun 3558  {csn 4153  {cpr 4155  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  1c1 9882   + caddc 9884  2c2 11015  #chash 13054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-hash 13055 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator