Theorem hashrabsn01 13200

Description: The size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is either 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashrabsn01	⊢ ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2651	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2		rabrsn 4291	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3		fveq2 6229	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (#‘∅))
4	3	eqeq1d 2653	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (#‘∅) = 𝑁))
5		eqcom 2658	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘∅) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (#‘∅))
6	5	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ ((#‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = (#‘∅))
7		hash0 13196	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
8	6, 7	syl6eq 2701	. . . . 5 ⊢ ((#‘∅) = 𝑁 → 𝑁 = 0)
9	8	orcd 406	. . . 4 ⊢ ((#‘∅) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
10	4, 9	syl6bi 243	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
11		fveq2 6229	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (#‘{𝐴}))
12	11	eqeq1d 2653	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 ↔ (#‘{𝐴}) = 𝑁))
13		eqcom 2658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ 𝑁 = (#‘{𝐴}))
14	13	biimpi 206	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 𝑁 → 𝑁 = (#‘{𝐴}))
15		hashsng 13197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 1)
16	14, 15	sylan9eqr 2707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (#‘{𝐴}) = 𝑁) → 𝑁 = 1)
17	16	olcd 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (#‘{𝐴}) = 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
18	17	ex 449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((#‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19		snprc 4285	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
20		fveq2 6229	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴} = ∅ → (#‘{𝐴}) = (#‘∅))
21	20	eqeq1d 2653	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((#‘{𝐴}) = 𝑁 ↔ (#‘∅) = 𝑁))
22	21, 9	syl6bi 243	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ((#‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
23	19, 22	sylbi 207	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((#‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	18, 23	pm2.61i 176	. . . 4 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
25	12, 24	syl6bi 243	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
26	10, 25	jaoi 393	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
27	1, 2, 26	mp2b 10	1 ⊢ ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210  ‘cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by: (None)