MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashsdom 13165
Description: Strict dominance relation for the size function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashsdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashsdom
StepHypRef Expression
1 hashcl 13142 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
2 hashcl 13142 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3 nn0re 11298 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
4 nn0re 11298 . . . . 5 ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
5 ltlen 10135 . . . . 5 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ∧ (#‘𝐵) ≠ (#‘𝐴))))
63, 4, 5syl2an 494 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ∧ (#‘𝐵) ≠ (#‘𝐴))))
71, 2, 6syl2an 494 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ∧ (#‘𝐵) ≠ (#‘𝐴))))
8 hashdom 13163 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
9 eqcom 2628 . . . . . 6 ((#‘𝐵) = (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐴) = (#‘𝐵))
10 hashen 13130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
119, 10syl5bb 272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) = (#‘𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
1211necon3abid 2829 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) ≠ (#‘𝐴) ↔ ¬ 𝐴𝐵))
138, 12anbi12d 747 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) ≤ (#‘𝐵) ∧ (#‘𝐵) ≠ (#‘𝐴)) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐵)))
147, 13bitrd 268 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐵)))
15 brsdom 7975 . 2 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵 ∧ ¬ 𝐴𝐵))
1614, 15syl6bbr 278 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) < (#‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793   class class class wbr 4651  cfv 5886  cen 7949  cdom 7950  csdm 7951  Fincfn 7952  cr 9932   < clt 10071  cle 10072  0cn0 11289  #chash 13112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-hash 13113
This theorem is referenced by:  fzsdom2  13210  vdwlem12  15690  odcau  18013  pgpssslw  18023  pgpfaclem2  18475  ppiltx  24897  erdszelem10  31167  rp-isfinite6  37690
  Copyright terms: Public domain W3C validator