MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashsng 12972
Description: The size of a singleton. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashsng (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)

Proof of Theorem hashsng
StepHypRef Expression
1 1z 11240 . . . 4 1 ∈ ℤ
2 en2sn 7899 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → {𝐴} ≈ {1})
31, 2mpan2 702 . . 3 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ {1})
4 snfi 7900 . . . 4 {𝐴} ∈ Fin
5 snfi 7900 . . . 4 {1} ∈ Fin
6 hashen 12949 . . . 4 (({𝐴} ∈ Fin ∧ {1} ∈ Fin) → ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1}))
74, 5, 6mp2an 703 . . 3 ((#‘{𝐴}) = (#‘{1}) ↔ {𝐴} ≈ {1})
83, 7sylibr 222 . 2 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = (#‘{1}))
9 1nn0 11155 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 hashfz1 12948 . . . . 5 (1 ∈ ℕ0 → (#‘(1...1)) = 1)
119, 10ax-mp 5 . . . 4 (#‘(1...1)) = 1
12 fzsn 12209 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
1312fveq2d 6092 . . . 4 (1 ∈ ℤ → (#‘(1...1)) = (#‘{1}))
1411, 13syl5reqr 2658 . . 3 (1 ∈ ℤ → (#‘{1}) = 1)
151, 14ax-mp 5 . 2 (#‘{1}) = 1
168, 15syl6eq 2659 1 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cen 7815  Fincfn 7818  1c1 9793  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  #chash 12934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-hash 12935
This theorem is referenced by:  hashen1  12973  hashrabrsn  12974  hashrabsn01  12975  hashunsng  12994  hashprg  12995  hashprgOLD  12996  elprchashprn2  12997  hashdifsn  13015  hashsn01  13017  hash1snb  13020  hashmap  13034  hashfun  13036  hashbclem  13045  hashbc  13046  hashf1  13050  hash2prde  13061  hash2pwpr  13065  hashge2el2dif  13067  brfi1indlem  13079  s1len  13184  ackbijnn  14345  phicl2  15257  dfphi2  15263  vdwlem8  15476  ramcl  15517  cshwshashnsame  15594  symg1hash  17584  pgp0  17780  odcau  17788  sylow2a  17803  sylow3lem6  17816  prmcyg  18064  gsumsnfd  18120  ablfac1eulem  18240  ablfac1eu  18241  pgpfaclem2  18250  0ring01eqbi  19040  rng1nnzr  19041  fta1glem2  23647  fta1blem  23649  fta1lem  23783  vieta1lem2  23787  vieta1  23788  vmappw  24559  usgraedgprv  25671  usgra1v  25685  uvtxnm1nbgra  25788  constr1trl  25884  1pthonlem1  25885  1pthonlem2  25886  1pthon  25887  vdgr1d  26196  vdgr1b  26197  rusgranumwlkb0  26246  usgreghash2spotv  26359  ex-hash  26468  esumcst  29258  cntnevol  29424  coinflippv  29678  ccatmulgnn0dir  29751  ofcccat  29752  derang0  30211  poimirlem26  32401  poimirlem27  32402  poimirlem28  32403  umgredgnlp  40372  lfuhgr1v0e  40475  usgr1vr  40476  uvtxanm1nbgr  40626  1hevtxdg1  40716  1egrvtxdg1  40720  lfgrwlkprop  40891  rusgrnumwwlkb0  41169  eupth2eucrct  41380  fusgreghash2wspv  41494  0ringdif  41655  c0snmhm  41700
  Copyright terms: Public domain W3C validator