Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashss 13180
 Description: The size of a subset is less than or equal to the size of its superset. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashss ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴))

Proof of Theorem hashss
StepHypRef Expression
1 ssdomg 7986 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
21com12 32 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
32adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝐴 ∈ Fin → 𝐵𝐴))
43impcom 446 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
5 ssfi 8165 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
65adantrl 751 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
7 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
8 hashdom 13151 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
96, 7, 8syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → ((#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
104, 9mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝐴)) → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴))
1110ex 450 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴)))
12 hashinf 13105 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) = +∞)
13 ssexg 4795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
1413ancoms 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
15 hashxrcl 13131 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ V → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
16 pnfge 11949 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐵) ∈ ℝ* → (#‘𝐵) ≤ +∞)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ≤ +∞)
1817ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉 → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ +∞))
1918adantl 482 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ +∞))
20 breq2 4648 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = +∞ → ((#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐵) ≤ +∞))
2120adantr 481 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → ((#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴) ↔ (#‘𝐵) ≤ +∞))
2219, 21sylibrd 249 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = +∞ ∧ 𝐴𝑉) → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴)))
2322expcom 451 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → ((#‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴))))
2423adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) = +∞ → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴))))
2512, 24mpd 15 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐵𝐴 → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴)))
2625impancom 456 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴)))
2726com12 32 . 2 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴)))
2811, 27pm2.61i 176 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ≤ (#‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876   ≼ cdom 7938  Fincfn 7940  +∞cpnf 10056  ℝ*cxr 10058   ≤ cle 10060  #chash 13100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101 This theorem is referenced by:  prsshashgt1  13181  hashin  13182  nehash2  13239  isnzr2hash  19245  nbfusgrlevtxm1  26260  nbfusgrlevtxm2  26261  konigsberglem5  27098  poimirlem9  33389  hashssle  39325  fourierdlem102  40188  fourierdlem114  40200
 Copyright terms: Public domain W3C validator