Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashssdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashssdif 13412
 Description: The size of the difference of a finite set and a subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashssdif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))

Proof of Theorem hashssdif
StepHypRef Expression
1 ssfi 8347 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 diffi 8359 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
3 disjdif 4184 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4 hashun 13383 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
53, 4mp3an3 1562 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
61, 2, 5syl2an 495 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
76anabss1 890 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
8 undif 4193 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
98biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
109fveq2d 6357 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴))
1110eqeq1d 2762 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵)))))
1211adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) ↔ (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵)))))
137, 12mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐴) = ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))))
1413eqcomd 2766 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴))
15 hashcl 13359 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17 hashcl 13359 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
20 hashcl 13359 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 11565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
23 subadd 10496 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (♯‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
2416, 19, 22, 23syl3an 1164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
25243anidm13 1531 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
2625anabss5 892 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)) ↔ ((♯‘𝐵) + (♯‘(𝐴𝐵))) = (♯‘𝐴)))
2714, 26mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)) = (♯‘(𝐴𝐵)))
2827eqcomd 2766 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (♯‘(𝐴𝐵)) = ((♯‘𝐴) − (♯‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  ℂcc 10146   + caddc 10151   − cmin 10478  ℕ0cn0 11504  ♯chash 13331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-hash 13332 This theorem is referenced by:  hashdif  13413  hashdifsn  13414  hashreshashfun  13438  brfi1indlem  13490  uvtxnm1nbgr  26530  clwwlknclwwlkdifnum  27122  clwwlknclwwlkdifnumOLD  27124  ballotlemfmpn  30886  ballotth  30929  poimirlem26  33766  poimirlem27  33767
 Copyright terms: Public domain W3C validator