MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashssdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashssdif 13016
Description: The size of the difference of a finite set and a subset is the set's size minus the subset's. (Contributed by Steve Rodriguez, 24-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashssdif ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashssdif
StepHypRef Expression
1 ssfi 8043 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2 diffi 8055 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
3 disjdif 3991 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4 hashun 12987 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))))
53, 4mp3an3 1404 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))))
61, 2, 5syl2an 492 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))))
76anabss1 850 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))))
8 undif 4000 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
98biimpi 204 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴)
109fveq2d 6092 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = (#‘𝐴))
1110eqeq1d 2611 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → ((#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) ↔ (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵)))))
1211adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((#‘(𝐵 ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) ↔ (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵)))))
137, 12mpbid 220 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘𝐴) = ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))))
1413eqcomd 2615 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐴))
15 hashcl 12964 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 11203 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
17 hashcl 12964 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11203 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
20 hashcl 12964 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
2221nn0cnd 11203 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
23 subadd 10136 . . . . . 6 (((#‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐴)))
2416, 19, 22, 23syl3an 1359 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐴)))
25243anidm13 1375 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴)) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐴)))
2625anabss5 852 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴𝐵)) ↔ ((#‘𝐵) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐴)))
2714, 26mpbird 245 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)) = (#‘(𝐴𝐵)))
2827eqcomd 2615 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) − (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  cc 9791   + caddc 9796  cmin 10118  0cn0 11142  #chash 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-hash 12938
This theorem is referenced by:  hashdif  13017  hashdifsn  13018  brfi1indlem  13082  uvtxnm1nbgra  25816  nbhashuvtx1  26236  clwlknclwlkdifnum  26282  ballotlemfmpn  29717  ballotth  29760  poimirlem26  32429  poimirlem27  32430  uvtxanm1nbgr  40653  clwwlknclwwlkdifnum  41204
  Copyright terms: Public domain W3C validator