Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashtpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashtpg 13305
 Description: The size of an unordered triple of three different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2017.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashtpg ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))

Proof of Theorem hashtpg
StepHypRef Expression
1 simpl3 1086 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐶𝑊)
2 prfi 8276 . . . . . . 7 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
4 elprg 4229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵)))
5 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴))
6 nne 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵𝐶𝐵 = 𝐶)
7 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐵)
86, 7bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐶)
9 nne 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐶𝐴𝐶 = 𝐴)
109bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 = 𝐴 ↔ ¬ 𝐶𝐴)
118, 10orbi12i 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
125, 11bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝐵) ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
134, 12syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1413biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝑊 → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
15143ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1615imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
1716olcd 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
1817ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))))
19 3orass 1057 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ (¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
2018, 19syl6ibr 242 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴)))
21 3ianor 1074 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴))
2220, 21syl6ibr 242 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
2322con2d 129 . . . . . . 7 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}))
2423imp 444 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
25 hashunsng 13219 . . . . . . 7 (𝐶𝑊 → (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (#‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((#‘{𝐴, 𝐵}) + 1)))
2625imp 444 . . . . . 6 ((𝐶𝑊 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})) → (#‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((#‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
271, 3, 24, 26syl12anc 1364 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (#‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = ((#‘{𝐴, 𝐵}) + 1))
28 simpr1 1087 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → 𝐴𝐵)
29 3simpa 1078 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
3029adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝑈𝐵𝑉))
31 hashprg 13220 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
3328, 32mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
3433oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) + 1) = (2 + 1))
3527, 34eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (#‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})) = (2 + 1))
36 df-tp 4215 . . . . 5 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
3736fveq2i 6232 . . . 4 (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = (#‘({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
38 df-3 11118 . . . 4 3 = (2 + 1)
3935, 37, 383eqtr4g 2710 . . 3 (((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
4039ex 449 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
41 nne 2827 . . . . . . 7 𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)
42 hashprlei 13288 . . . . . . . . 9 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2)
43 prfi 8276 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐵, 𝐶} ∈ Fin
44 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ)
4643, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ
47 2z 11447 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
48 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1)))
49 2p1e3 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
5150breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (#‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5251biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐵, 𝐶}) < (2 + 1) → (#‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5348, 52sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐵, 𝐶}) < 3))
5446, 47, 53mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐵, 𝐶}) < 3)
5544nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐵, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ)
5643, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐵, 𝐶}) ∈ ℝ
57 3re 11132 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
5856, 57ltnei 10199 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐵, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (#‘{𝐵, 𝐶}))
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (#‘{𝐵, 𝐶}))
6059necomd 2878 . . . . . . . . . 10 ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6160adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐵, 𝐶}) ≤ 2) → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
6242, 61mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3)
63 tpeq1 4309 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐵, 𝐶})
64 tpidm12 4322 . . . . . . . . . . 11 {𝐵, 𝐵, 𝐶} = {𝐵, 𝐶}
6563, 64syl6req 2702 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
6665fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐵, 𝐶}) = (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
6766neeq1d 2882 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐵, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6862, 67syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
6941, 68sylbi 207 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
70 hashprlei 13288 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2)
71 prfi 8276 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐴, 𝐶} ∈ Fin
72 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℕ0)
7372nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ)
7471, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ
75 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1)))
7649a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
7776breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) ↔ (#‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7877biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐶}) < (2 + 1) → (#‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
7975, 78sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐶}) < 3))
8074, 47, 79mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐶}) < 3)
8172nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐶} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ)
8271, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴, 𝐶}) ∈ ℝ
8382, 57ltnei 10199 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐴, 𝐶}) < 3 → 3 ≠ (#‘{𝐴, 𝐶}))
8480, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → 3 ≠ (#‘{𝐴, 𝐶}))
8584necomd 2878 . . . . . . . . . 10 ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8685adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐶} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐴, 𝐶}) ≤ 2) → (#‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
8770, 86mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3)
88 tpeq2 4310 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐶, 𝐶})
89 tpidm23 4324 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐶, 𝐶} = {𝐴, 𝐶}
9088, 89syl6req 2702 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → {𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → (#‘{𝐴, 𝐶}) = (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
9291neeq1d 2882 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → ((#‘{𝐴, 𝐶}) ≠ 3 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
9387, 92syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
946, 93sylbi 207 . . . . . 6 𝐵𝐶 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
95 hashprlei 13288 . . . . . . . . 9 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2)
96 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℕ0)
9796nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ)
982, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ
99 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1)))
10049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (2 + 1) = 3)
101100breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
102101biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) < (2 + 1) → (#‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10399, 102sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐵}) < 3))
10498, 47, 103mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐵}) < 3)
10596nn0red 11390 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → (#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
1062, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ
107106, 57ltnei 10199 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘{𝐴, 𝐵}) < 3 → 3 ≠ (#‘{𝐴, 𝐵}))
108104, 107syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → 3 ≠ (#‘{𝐴, 𝐵}))
109108necomd 2878 . . . . . . . . . 10 ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
110109adantl 481 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) ≤ 2) → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
11195, 110mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3)
112 tpeq3 4311 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐴})
113 tpidm13 4323 . . . . . . . . . . 11 {𝐴, 𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
114112, 113syl6req 2702 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐵, 𝐶})
115114fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}))
116115neeq1d 2882 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 3 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
117111, 116syl5ib 234 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
1189, 117sylbi 207 . . . . . 6 𝐶𝐴 → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
11969, 94, 1183jaoi 1431 . . . . 5 ((¬ 𝐴𝐵 ∨ ¬ 𝐵𝐶 ∨ ¬ 𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
12021, 119sylbi 207 . . . 4 (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
121120com12 32 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → (¬ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) → (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) ≠ 3))
122121necon4bd 2843 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3 → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)))
12340, 122impbid 202 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝑊) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (#‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1053   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∪ cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  {ctp 4214   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  ℤcz 11415  #chash 13157 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158 This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  13306  konigsberglem5  27234  poimirlem9  33548
 Copyright terms: Public domain W3C validator