MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 13211
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 8233 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 8221 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 3872 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 incom 3838 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵𝐴))
10 disjdif 4073 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
12 sseq0 4008 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
138, 11, 12mp2an 708 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 hashun 13209 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))))
162, 6, 14, 15syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))))
17 incom 3838 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1817uneq2i 3797 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
19 uncom 3790 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inundif 4079 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
2118, 19, 203eqtri 2677 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2322fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (#‘𝐵))
2416, 23eqtr3d 2687 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐵))
25 hashcl 13185 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
28 hashcl 13185 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
296, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
31 hashcl 13185 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
322, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3427, 30, 33subadd2d 10449 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘(𝐵𝐴)) ↔ ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐵)))
3524, 34mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘(𝐵𝐴)))
3635oveq2d 6706 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵)))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
37 hashcl 13185 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11391 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
4039, 27, 30addsubassd 10450 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))) = ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵)))))
41 undif2 4077 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4241fveq2i 6232 . . 3 (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (#‘(𝐴𝐵))
4310a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
44 hashun 13209 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
453, 2, 43, 44syl3anc 1366 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
4642, 45syl5eqr 2699 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
4736, 40, 463eqtr4rd 2696 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  incexclem  14612
  Copyright terms: Public domain W3C validator