MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun3 12989
Description: The size of the union of finite sets is the sum of their sizes minus the size of the intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashun3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))))

Proof of Theorem hashun3
StepHypRef Expression
1 diffi 8055 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
3 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
4 inss1 3795 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
5 ssfi 8043 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
63, 4, 5sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
7 sslin 3801 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ⊆ 𝐴 → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴))
84, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴)
9 incom 3767 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝐵𝐴))
10 disjdif 3992 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
119, 10eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅
12 sseq0 3927 . . . . . . . 8 ((((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) ⊆ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) ∧ ((𝐵𝐴) ∩ 𝐴) = ∅) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
138, 11, 12mp2an 704 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
15 hashun 12987 . . . . . 6 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ ((𝐵𝐴) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))))
162, 6, 14, 15syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))))
17 incom 3767 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵) = (𝐵𝐴)
1817uneq2i 3726 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
19 uncom 3719 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴))
20 inundif 3998 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐵𝐴)) = 𝐵
2118, 19, 203eqtri 2636 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐵)
2322fveq2d 6092 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘((𝐵𝐴) ∪ (𝐴𝐵))) = (#‘𝐵))
2416, 23eqtr3d 2646 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐵))
25 hashcl 12964 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
2625adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
2726nn0cnd 11203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
28 hashcl 12964 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
296, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
31 hashcl 12964 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
322, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3427, 30, 33subadd2d 10263 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘(𝐵𝐴)) ↔ ((#‘(𝐵𝐴)) + (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘𝐵)))
3524, 34mpbird 246 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵))) = (#‘(𝐵𝐴)))
3635oveq2d 6543 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵)))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
37 hashcl 12964 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11203 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
4039, 27, 30addsubassd 10264 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))) = ((#‘𝐴) + ((#‘𝐵) − (#‘(𝐴𝐵)))))
41 undif2 3996 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
4241fveq2i 6091 . . 3 (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (#‘(𝐴𝐵))
4310a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅)
44 hashun 12987 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
453, 2, 43, 44syl3anc 1318 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
4642, 45syl5eqr 2658 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
4736, 40, 463eqtr4rd 2655 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = (((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) − (#‘(𝐴𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cdif 3537  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819   + caddc 9796  cmin 10118  0cn0 11142  #chash 12937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-hash 12938
This theorem is referenced by:  incexclem  14356
  Copyright terms: Public domain W3C validator