MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunlei 13021
Description: Get an upper bound on a concretely specified finite set. Induction step: union of two finite bounded sets. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hashunlei.c 𝐶 = (𝐴𝐵)
hashunlei.a (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
hashunlei.b (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
hashunlei.k 𝐾 ∈ ℕ0
hashunlei.m 𝑀 ∈ ℕ0
hashunlei.n (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
Assertion
Ref Expression
hashunlei (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem hashunlei
StepHypRef Expression
1 hashunlei.c . . 3 𝐶 = (𝐴𝐵)
2 hashunlei.a . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin ∧ (#‘𝐴) ≤ 𝐾)
32simpli 472 . . . 4 𝐴 ∈ Fin
4 hashunlei.b . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀)
54simpli 472 . . . 4 𝐵 ∈ Fin
6 unfi 8086 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
73, 5, 6mp2an 703 . . 3 (𝐴𝐵) ∈ Fin
81, 7eqeltri 2680 . 2 𝐶 ∈ Fin
91fveq2i 6088 . . . 4 (#‘𝐶) = (#‘(𝐴𝐵))
10 hashun2 12982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
113, 5, 10mp2an 703 . . . 4 (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
129, 11eqbrtri 4595 . . 3 (#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵))
132simpri 476 . . . . 5 (#‘𝐴) ≤ 𝐾
144simpri 476 . . . . 5 (#‘𝐵) ≤ 𝑀
15 hashcl 12958 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
163, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐴) ∈ ℕ0
1716nn0rei 11147 . . . . . 6 (#‘𝐴) ∈ ℝ
18 hashcl 12958 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
195, 18ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝐵) ∈ ℕ0
2019nn0rei 11147 . . . . . 6 (#‘𝐵) ∈ ℝ
21 hashunlei.k . . . . . . 7 𝐾 ∈ ℕ0
2221nn0rei 11147 . . . . . 6 𝐾 ∈ ℝ
23 hashunlei.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11147 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℝ
2517, 20, 22, 24le2addi 10437 . . . . 5 (((#‘𝐴) ≤ 𝐾 ∧ (#‘𝐵) ≤ 𝑀) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀))
2613, 14, 25mp2an 703 . . . 4 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ (𝐾 + 𝑀)
27 hashunlei.n . . . 4 (𝐾 + 𝑀) = 𝑁
2826, 27breqtri 4599 . . 3 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁
29 hashcl 12958 . . . . . 6 (𝐶 ∈ Fin → (#‘𝐶) ∈ ℕ0)
308, 29ax-mp 5 . . . . 5 (#‘𝐶) ∈ ℕ0
3130nn0rei 11147 . . . 4 (#‘𝐶) ∈ ℝ
3217, 20readdcli 9906 . . . 4 ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∈ ℝ
3322, 24readdcli 9906 . . . . 5 (𝐾 + 𝑀) ∈ ℝ
3427, 33eqeltrri 2681 . . . 4 𝑁 ∈ ℝ
3531, 32, 34letri 10014 . . 3 (((#‘𝐶) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ∧ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) ≤ 𝑁) → (#‘𝐶) ≤ 𝑁)
3612, 28, 35mp2an 703 . 2 (#‘𝐶) ≤ 𝑁
378, 36pm3.2i 469 1 (𝐶 ∈ Fin ∧ (#‘𝐶) ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3534   class class class wbr 4574  cfv 5787  (class class class)co 6524  Fincfn 7815  cr 9788   + caddc 9792  cle 9928  0cn0 11136  #chash 12931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-hash 12932
This theorem is referenced by:  hashprlei  13056  hashtplei  13067  kur14lem8  30252
  Copyright terms: Public domain W3C validator