MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 13213
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 13209. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 13209 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
213expa 1284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
3 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 11390 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 11390 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 12101 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1110eqcomd 2657 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
1312expcom 450 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
14133ad2ant3 1104 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
15 unexg 7001 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 8269 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 150 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 13162 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 494 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 508 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 13190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 13212 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
3029ex 449 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
31 hashxrcl 13186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 13186 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 12109 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
37 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 13190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 13212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
4746ex 449 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4830, 47jaoi 393 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4920, 48sylbi 207 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5049imp 444 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2685 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5251expcom 450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
53523adant3 1101 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 170 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wnel 2926  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  c0 3948  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  *cxr 10111  0cn0 11330   +𝑒 cxad 11982  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-xadd 11985  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  vtxdun  26433  vtxdginducedm1  26495
  Copyright terms: Public domain W3C validator