MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashunx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashunx 13112
Description: The size of the union of disjoint sets is the result of the extended real addition of their sizes, analogous to hashun 13108. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashunx ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashunx
StepHypRef Expression
1 hashun 13108 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
213expa 1262 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
3 hashcl 13084 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
5 hashcl 13084 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
65nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
74, 6anim12i 589 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
87adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
9 rexadd 12005 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
108, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
1110eqcomd 2632 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
122, 11eqtrd 2660 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
1312expcom 451 . . 3 ((𝐴𝐵) = ∅ → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
14133ad2ant3 1082 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
15 unexg 6913 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
16 unfir 8173 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
1716con3i 150 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
18 hashinf 13059 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ V ∧ ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
1915, 17, 18syl2anr 495 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = +∞)
20 ianor 509 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ↔ (¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin))
21 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
22 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
23 hashnfinnn0 13089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
2423ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑉 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2524adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∉ ℕ0))
2625impcom 446 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐴) ∉ ℕ0)
27 hashinfxadd 13111 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (#‘𝐴) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2821, 22, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
2928eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
3029ex 450 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
31 hashxrcl 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℝ*)
32 hashxrcl 13085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℝ*)
3331, 32anim12i 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*))
35 xaddcom 12013 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ*) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)))
37 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐵𝑊)
38 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → 𝐴𝑉)
39 hashnfinnn0 13089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
4039ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵𝑊 → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ 𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∉ ℕ0))
4241impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘𝐵) ∉ ℕ0)
43 hashinfxadd 13111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑊𝐴𝑉 ∧ (#‘𝐵) ∉ ℕ0) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4437, 38, 42, 43syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐵) +𝑒 (#‘𝐴)) = +∞)
4536, 44eqtrd 2660 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)) = +∞)
4645eqcomd 2632 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
4746ex 450 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4830, 47jaoi 394 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∨ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
4920, 48sylbi 207 . . . . . 6 (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5049imp 445 . . . . 5 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → +∞ = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5119, 50eqtrd 2660 . . . 4 ((¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑊)) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
5251expcom 451 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
53523adant3 1079 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (¬ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵))))
5414, 53pm2.61d 170 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊 ∧ (𝐴𝐵) = ∅) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) +𝑒 (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wnel 2899  Vcvv 3191  cun 3558  cin 3559  c0 3896  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  cr 9880   + caddc 9884  +∞cpnf 10016  *cxr 10018  0cn0 11237   +𝑒 cxad 11888  #chash 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-xadd 11891  df-hash 13055
This theorem is referenced by:  vtxdun  26257
  Copyright terms: Public domain W3C validator