Theorem hashv01gt1 12995

Description: The size of a set is either 0 or 1 or greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hashv01gt1	⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))

Proof of Theorem hashv01gt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 12992	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞))
2		elnn0 11171	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((#‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (#‘𝑀) = 0))
3		exmidne 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑀) = 1 ∨ (#‘𝑀) ≠ 1)
4		nngt1ne1 10924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → (1 < (#‘𝑀) ↔ (#‘𝑀) ≠ 1))
5	4	orbi2d 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → (((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)) ↔ ((#‘𝑀) = 1 ∨ (#‘𝑀) ≠ 1)))
6	3, 5	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
7	6	olcd 407	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀))))
8		3orass 1034	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)) ↔ ((#‘𝑀) = 0 ∨ ((#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀))))
9	7, 8	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
10		3mix1 1223	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) = 0 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
11	9, 10	jaoi 393	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑀) ∈ ℕ ∨ (#‘𝑀) = 0) → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
12	2, 11	sylbi 206	. . 3 ⊢ ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
13		1re 9918	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		ltpnf 11830	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 1 < +∞
16		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → (1 < (#‘𝑀) ↔ 1 < +∞))
17	15, 16	mpbiri 247	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → 1 < (#‘𝑀))
18	17	3mix3d 1231	. . 3 ⊢ ((#‘𝑀) = +∞ → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
19	12, 18	jaoi 393	. 2 ⊢ (((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑀) = +∞) → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))
20	1, 19	syl 17	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑀) = 0 ∨ (#‘𝑀) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑀)))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950   < clt 9953  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13118  01eq0ring  19093  tgldimor  25197  frgrawopreg  26576  frgrwopreg  41486