MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashxp 13029
Description: The size of the Cartesian product of two finite sets is the product of their sizes. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
hashxp ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashxp
StepHypRef Expression
1 xpeq2 5039 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))
21fveq2d 6088 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = (#‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
3 fveq2 6084 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → (#‘𝐵) = (#‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))
43oveq2d 6539 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
52, 4eqeq12d 2620 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)) ↔ (#‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((#‘𝐴) · (#‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅)))))
65imbi2d 328 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) → ((𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵))) ↔ (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((#‘𝐴) · (#‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))))
7 0fin 8046 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
87elimel 4095 . . . 4 if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅) ∈ Fin
98hashxplem 13028 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))) = ((#‘𝐴) · (#‘if(𝐵 ∈ Fin, 𝐵, ∅))))
106, 9dedth 4084 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵))))
1110impcom 444 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 × 𝐵)) = ((#‘𝐴) · (#‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  c0 3869  ifcif 4031   × cxp 5022  cfv 5786  (class class class)co 6523  Fincfn 7814   · cmul 9793  #chash 12930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-hash 12931
This theorem is referenced by:  hashmap  13030  ackbijnn  14341  crth  15263  phimullem  15264  prmreclem3  15402  lsmhash  17883  lgsquadlem3  24820  numclwwlk1  26387  ccatmulgnn0dir  29747  ofcccat  29748  erdszelem10  30238  poimirlem26  32404  av-numclwwlk1  41526
  Copyright terms: Public domain W3C validator